Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x}{2};\frac{8}{y}\) ta có:

\(\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\)

\(\Leftrightarrow2\ge4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow0< \sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow0< \frac{x}{y}\le\frac{1}{4}\)

Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(0< t\le\frac{1}{4}\right)\Rightarrow-t\ge\frac{-1}{4}\)

Ta có: \(K=t+\frac{2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\ge16-\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)

Vậy GTNN của K là \(\frac{33}{4}\) tại x=2;y=8

\(2\ge\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}\ge4\)

\(K=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{31y}{16x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{31}{16}.4=\frac{33}{4}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{8}\\\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=2\\\frac{x}{y}=\frac{y}{16x}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\).

Nhận thấy vai trò a,b,c là như nhau nên giả sử a là số lớn nhất trong 3 số a,b,c

Khi đó ta xét 2 TH sau:

Nếu \(b\ge c\) thì khi đó: \(\hept{\begin{cases}a-b\ge0\\b-c\ge0\\c-a\le0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\le0\) 

Nếu \(b< c\) thì khi đó: \(\hept{\begin{cases}a-b>0\\b-c< 0\\c-a\le0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\ge0\)

Áp dụng Bđt Cauchy ta có: \(\left(b-c\right)\left(c-a\right)\le\frac{\left(b-c+c-a\right)^2}{4}=\frac{\left(b-a\right)^2}{4}=\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow P=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\le\left(a-b\right)\cdot\frac{\left(a-b\right)^2}{4}=\frac{\left(a-b\right)^3}{4}\)

Vì \(\hept{\begin{cases}b\ge0\\a\le1\end{cases}}\) nên \(P\le\frac{\left(a-b\right)^3}{4}\le\frac{\left(1-0\right)^3}{4}=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\\c=\frac{1}{2}\end{cases}}\) và các hoán vị

Qua hai TH trên vậy \(P_{max}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\\c=\frac{1}{2}\end{cases}}\) và các hoán vị của chúng

phần c nào bạn ơi

bạn ghi cả đề bài ra nha!

Phần C nào thế bạn?

Giups mik với ạ

a, Thay m = -1/2 vào (d) ta được : 

\(y=2x-2.\left(-\frac{1}{2}\right)+2\Rightarrow y=2x+3\)

Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình 

\(2x+3=x^2\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)

\(\Delta=4-4\left(-3\right)=4+12=16>0\)

\(x_1=\frac{2-4}{2}=-1;x_2=\frac{2+4}{2}=3\)

Vói x = -1 thì \(y=-2+3=1\)

Vớ x = 3 thì \(y=6+3=9\)

Vậy tọa độ giao điểm của 2 điểm là A ( -1 ; 1 ) ; B ( 3 ; 9 )

b, mình chưa học 

\(y_1+y_2=4\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=4\left(x_1+x_2\right)\)(1)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có: 

\(x^2=2x-2m+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+2m-2=0\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=2m-2\end{cases}}\)

Từ (1)  \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow4-4m+4=8\)

\(\Leftrightarrow m=0\)

vậy..

Áp dụng AM-GM ta có : \(\frac{a}{a^2+1}=\frac{a}{a^2+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}}\le\frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}}=\frac{9a}{6a+8}\)

Áp dụng BĐT : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)với \(x,y,z>0\)( Dễ dàng CM bằng AM-GM )

\(\left(6a+8+6b+8+6c+8\right)\left(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}\right)\ge9\)

\(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}\ge\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\)

Ta có : \(\frac{9a}{6a+8}=\frac{3}{2}-\frac{12}{6a+8}\)

\(\rightarrow\frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8}=\frac{9}{2}-12\left(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}\right)\)

Lại có : \(\frac{9}{2}-12\left(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}\right)\le\frac{9}{2}-12.\frac{3}{10}=\frac{9}{2}-\frac{18}{5}=\frac{9}{10}\)

Các bạn giúp mình với !

Câu 5:

2) Ta có:

\(\Delta^'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1\cdot\left(m-5\right)=m^2-2m+1-m+5\)

\(=m^2-3m+6=\left(m^2-3m+\frac{9}{4}\right)+\frac{15}{4}=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}>0\left(\forall m\right)\)

=> PT luôn có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m-5\end{cases}}\)

Ta có: \(P^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(2m-2\right)^2-4\left(m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m+20\)

\(=4m^2-12m+24=\left(4m^2-12m+9\right)+15=\left(2m-3\right)^2+15\ge15\left(\forall m\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{15}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(2m-3=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\sqrt{15}\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\)

Đề này đề thi thử vào THPT Ngô Gia Tự 2021-2022 phải không?

Câu 6:

Gọi 2 giao điểm lần lượt có tọa độ là: \(\left(-1;y_1\right)\) và \(\left(2;y_2\right)\)

Thay vào (P) ta được: \(\hept{\begin{cases}y_1=-2.\left(-1\right)^2=-2\\y_2=-2.2^2=-8\end{cases}}\)

=> Tọa độ 2 giao điểm lần lượt là \(\left(-1;-2\right)\) và \(\left(2;-8\right)\)

Lần lượt thay vào (d) ta được: \(\hept{\begin{cases}-a+b=-2\\2a+b=-8\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-2\\b=-4\end{cases}}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}a=-2\\b=-4\end{cases}}\)

Đề này mình làm full rồi:)) 

Xét phương trình hoành độ ta có :\(mx^2-2x+m^2=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=4-4m^3\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)hay \(4-4m^3\ge0\)

\(4\ge4m^3\)

\(1\ge m^3\)

\(1\ge m\)

Theo Vi-ét ta có \(\hept{\begin{cases}xA+xB=\frac{-b}{a}=\frac{2}{m}\\xAxB=\frac{c}{a}=m\end{cases}}\)

Vì m >0 nên \(xAxB>0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dấu nên A B nằm cùng 1 phía trục tung

Ta có :\(\frac{2}{xA+xB}+\frac{1}{4xAxB+1}\)

\(\frac{2}{\frac{2}{m}}\)\(+\frac{1}{4m+1}\)= \(m+\frac{1}{4m+1}=\frac{m\left(4m+1\right)}{4m+1}+\frac{1}{4m+1}\)=\(\frac{4m^2+m+1}{4m+1}=P\)

\(4m^2+m+1=P\left(4m+1\right)\)

\(4m^2+m+1=4mP+P\)

\(4m^2+m+1-4mP-P=0\)

\(4m^2+m-4mP+1-P=0\)

\(4m^2+m\left(1-4P\right)+1-P=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(1-4P\right)^2-16\left(1-P\right)\)

\(=1-8P+16P^2-16+16P\)

\(=-15+8P+16P^2\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)hay \(16P^2+8P-15\ge0\)

\(\orbr{\begin{cases}P\le\frac{-5}{4}\\P\ge\frac{3}{4}\end{cases}}\)

Vậy minP =\(\frac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra \(< =>\)\(\frac{4m^2+m+1}{4m+1}=P\)

\(\frac{4m^2+m+1}{4m+1}=\frac{3}{4}\)

\(4\left(4m^2+m+1\right)=3\left(4m+1\right)\)

\(16m^2+4m+4-12m-3=0\)

\(16m^2-8m+1=0\)

\(m=\frac{1}{4}\)

Vậy minP=\(\frac{3}{4}\)khi và chỉ khi \(m=\frac{1}{4}\)