Ta có:

sigma \(\frac{ab}{3a+4b+5c}=\) sigma \(\frac{2ab}{5\left(a+b+2c\right)+\left(a+3b\right)}\le\frac{2}{36}\left(sigma\frac{5ab}{a+b+2c}+sigma\frac{ab}{a+3b}\right)\)

Ta đi chứng minh: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{9}{4}\)

có: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(sigma\frac{ab}{c+a}+sigma\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)

BĐT trên đúng nếu: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{9}{4}\)

Ta thấy: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{1}{16}\left(sigma\frac{ab}{a}+sigma\frac{3ab}{b}\right)=\frac{1}{16}\)( sigma \(b+sigma3a\)) \(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow sigma\frac{ab}{3a+4b+5c}\le\frac{1}{18}\left(5.\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\right)=\frac{3}{4}\)(1)

MÀ: \(\frac{1}{\sqrt{ab\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}}=\frac{2}{2\sqrt{\left(ab+2bc\right)\left(ab+2ca\right)}}\ge\frac{2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{3}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{9^2}=\frac{1}{27}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow T\le\frac{3}{4}-\frac{1}{27}=\frac{77}{108}\)

Vậy GTLN của biểu thức T là 77/108 <=> a=b=c=3

để phương trình đã cho bằng  0 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b\sqrt[3]{2}\\c\sqrt[3]{4}=0\end{cases}}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\\c=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=0\left(đpcm\right)\)

đây nhé bạn

a, Với \(x>0;x\ne1\)

 \(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left(\frac{x-1}{2\sqrt{x}}\right)^2\left(\frac{x-2\sqrt{x}+1-x-2\sqrt{x}-1}{x-1}\right)\)

\(=\frac{x^2-2x+1}{4x}.\frac{-4\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1-x}{\sqrt{x}}\)

Thay x = 4 => \(\sqrt{x}=2\)vào P ta được : 

\(\frac{1-4}{2}=-\frac{3}{2}\)

c, Ta có : \(P< 0\Rightarrow\frac{1-x}{\sqrt{x}}< 0\Rightarrow1-x< 0\)vì \(\sqrt{x}>0\)

\(\Rightarrow-x< -1\Leftrightarrow x>1\)

Cộng hai phương trình lại ta được: 

\(x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{2x}{y}+x+\frac{1}{y}=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(x+\frac{1}{y}\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{1}{y}=2\\x+\frac{1}{y}=-3\end{cases}}\)

Với \(x+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow\frac{1}{y}=2-x\)ta có: 

\(2+x\left(2-x\right)=3\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Với \(x+\frac{1}{y}=-3\Leftrightarrow\frac{1}{y}=-3-x\)ta có: 

\(-3+x\left(-3-x\right)=3\left(vn\right)\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(1,1\right)\).

Xét các số nguyên tố lớn hơn \(3\): 

Khi đó các số nguyên tố là số lẻ và chia cho \(3\)dư \(1\)hoặc \(2\).

Chọn \(5\)số nguyên tố bất kì, khi đó luôn tồn tại ít nhất \(3\)số có cùng số dư khi chia cho \(3\). 

Gọi \(3\)số đó là \(a,b,c\).

Khi đó \(a-b⋮3,b-c⋮3,c-a⋮3\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮3^3\).

cũng có: \(a-b⋮2,b-c⋮2,c-a⋮2\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮2^3\)

Do đó ta có: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮\left(2^3.3^3\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮216\).

Khi kể thêm \(2\)số nguyên tố \(2\)và \(3\)ta có đpcm. 

Mình ghi nhầm. \(x=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}.\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}}\)nhé

\(\frac{4+\sqrt{X}}{7}\)