GTNN là 2/3 khi x = 1

Đây là câu bđt của chuyên Quảng Nam vừa thi mà:vvv

Ta có: \(xy+yz+zx=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\left(a,b,c>0\right)\)

Khi đó: \(H=\frac{a}{9b^2+1}+\frac{b}{9c^2+1}+\frac{c}{9a^2+1}\)

\(=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{9ab^2}{9b^2+1}+\frac{9bc^2}{9c^2+1}+\frac{9ca^2}{9a^2+1}\right)\)

\(\ge1-\left(\frac{9ab^2}{6b}+\frac{9bc^2}{6c}+\frac{9ca^2}{6a}\right)\)

\(=1-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge1-\frac{3}{2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=3\)

Vậy Min(H) = 1/2 khi x = y = z = 3

\(\sqrt{32-10\sqrt{7}}-\sqrt{43-12\sqrt{7}}\)

\(=\sqrt{32-2.5\sqrt{7}}-\sqrt{43-2.6\sqrt{7}}\)

\(=\sqrt{25-2.5\sqrt{7}+7}-\sqrt{36-2.6\sqrt{7}+7}\)

\(=\sqrt{\left(5-\sqrt{7}\right)^2}-\sqrt{\left(6-\sqrt{7}\right)^2}\)

\(=5-\sqrt{7}-6+\sqrt{7}=-1\)

b) Ta có: \(hpt\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x=5m\\2x-y=m-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m\\2m-y=m-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=m\\y=m+1\end{cases}}}\)

Mà x+y>1 => m+m+1>1 <=> 2m>0 <=>m>0

Vậy m>0 (Tm)

Cứ tưởng phải biến đổi \(9=3\left(p^2-2q\right)=\left(p^2-2q\right)^2\) loay hoay mãi không ra:))

Schur à, xin lời giải đi:D

minh nghi vay

Áp dụng BĐT cô si ta có :

ab+bc+ca≥33√ab.bc.ca=3ab+bc+ca≥3ab.bc.ca3=3

⇒BĐT⇒BĐTcần CMCM: 3>9a+b+c⇔a+b+c>33>9a+b+c⇔a+b+c>3

Mà a,b,c > 0 => abc > 0

 ⇒a+b+c≥33√abc≥3⇒a+b+c≥3abc3≥3

Dấu "=" xảy ra ⇔\hept{a=b=ca2=b2=c2=1⇔a=b=c=1

Cóp vừa thôi:)) huymatacc

\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{5-2\sqrt{2.3}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{2.3}+\left(\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)vì \(\sqrt{3}-\sqrt{2}>0\)

\(\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{8-2\sqrt{5.3}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{5}-\sqrt{3}\)vì \(\sqrt{5}-\sqrt{3}>0\)

Đk: \(x\ge0\)

Ta thấy x=0 không thoả mãn phương trình đầu tiên => x>0

Chia hai vế của pt (2) cho x² ta được:

\(2y\left(1+\sqrt{4y^2+1}\right)=\frac{1}{x}\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)\)

\(\Rightarrow y>0\)

+ Nếu \(2y>\frac{1}{x}\)\(\Rightarrow2y\left(1+\sqrt{4y^2+1}\right)>\frac{1}{x}\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)\)

+ Nếu \(2y< \frac{1}{x}\Rightarrow2y\left(1+\sqrt{4y^2+1}\right)< \frac{1}{x}\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)\)

\(\Rightarrow2y=\frac{1}{x}\). Thay vào pt(1) ta được:

\(x^3\left(\frac{1}{x^2}+1\right)+2\sqrt{x}=4\)

hay \(x^3+x+2\sqrt{x}=4\)

Ta thấy x=1 là nghiệm của pt trên. 

+ Nếu \(x>1\Rightarrow x^3+x+2\sqrt{x}>4\)

+ Nếu \(x< 1\Rightarrow x^3+x+2\sqrt{x}< 4\)

Vậy pt trên có nghiệm duy nhất là x=1

\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)

KL: hpt đã cho có nghiệm (x;y)=(1;1/2)