\(f\left(x\right)=x+\frac{2}{x-1}\)

\(=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\)

Ap dụng bất đẳng thức Cô - si :

\(f\left(x\right)>2.\sqrt{\frac{x-1}{2}.\frac{2}{x-1}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(\frac{x-1}{2}=\frac{2}{x-1}\)

\(\left(x-1\right)^2=4\)

\(x-1=2\)

\(x=3\)

Vậy GTNN là 3

Ta có: \(f\left(x\right)=x+\frac{2}{x-1}\) \(=x-1+\frac{2}{x-1}\)\(+1>2\sqrt{\left(x-1\right)\frac{2}{x-1}}+1=2\sqrt{2+1}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x>1\\x-1=\frac{2}{x-1}\end{cases}}\)\(x=1+\sqrt{2}\) vậy \(m=2\sqrt{2}+1\)

no no on onnonoonon

? mình không hiểu nhé

Tập Trung

Chăm Chỉ

Không hiểu hãy hỏi chứ đừng giấu giốt

Mình đạt 10 năm HS giỏi cho nên biết thế thôi nhé

Yêu bạn

Nắm chắc các lý thuyết, định nghĩa

Không học dồn

Lắng nghe và ghi chép mọi thông tin từ bài giảng

Mạnh dạn hỏi khi chưa hiểu

Đọc trước bài mới ở nhà

Học và làm bài tập thật nhiều

Yêu thích môn học

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+\frac{1}{a}\right)\\\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4b+\frac{1}{b}\right)\end{cases}}\)

Lúc này được \(P\ge\frac{1}{\sqrt{17}}[4\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)]\)

Thấy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy và đề bài được

\(P\ge\frac{1}{\sqrt{17}}[4\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}]\)

\(=\frac{1}{\sqrt{17}}[\frac{a+b}{4}+\frac{4}{a+b}+\frac{15\left(a+b\right)}{4}]\ge\frac{1}{\sqrt{17}}[2+15]=\sqrt{17}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{4}=\frac{1}{a}\\\frac{b}{4}=\frac{1}{b}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=b=2\)