Kẻ \(AH\perp BC\)tại \(H\) thì \(DI//AH\).

Xét \(\Delta HAC\)có:

 \(DI//AH\)(chứng minh trên).

\(AI=CI\)(giả thiết).

\(\Rightarrow HD=CD\)\(\left(D\in BC\right)\)(tính chất).

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\)có đường cao \(AH\)\(\left(H\in BC\right)\)(hình vẽ trên).

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow AB^2=\left(BD-DH\right)\left(BD+CD\right)\).

\(\Rightarrow AB^2=\left(BD-CD\right)\left(BD+CD\right)\)(vì \(CD=DH\)).

\(\Rightarrow AB^2=BD^2-CD^2\)(điều phải chứng minh).

a) \(\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{12+4\sqrt{3}+1}}=\sqrt{5-\sqrt{\left(2\sqrt{3}+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{5-2\sqrt{3}-1}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{3}-1\)

Bài này mới nhìn ta có thể nhận thấy vô số nghiệm mà

Ví dụ với x là số nguyên bất kỳ, y là một số nguyên không âm bất kì

=> Ta luôn nhận được \(x^y\) luôn nguyên

=> \(x^y+1\)  luôn nguyên

=> z luôn nguyên

Vậy tập nghiệm của PT là: \(\hept{\begin{cases}x=m\\y=n\\z=m^n+1\end{cases}\left(m,n\inℤ;n\ge0\right)}\)

\(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{\sqrt{8}-\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}\sqrt{3}}{\sqrt{4}\sqrt{2}-\sqrt{4}\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{4}\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{\sqrt{8}-\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{2}-\sqrt{5}.\sqrt{3}}{\sqrt{4}.\sqrt{2}-\sqrt{4}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Trước tiên ta sẽ chứng minh \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ. 

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ. 

Khi đó \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\left(m,n\inℤ,\left(m,n\right)=1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2=2n^2\)

Suy ra \(m^2⋮2\Rightarrow m⋮2\Rightarrow m=2k\)

\(4k^2=2n^2\Leftrightarrow n^2=2k^2\)từ đây cũng suy ra \(n⋮2\)

Khi đó \(m,n\)cùng chia hết cho \(2\)(mâu thuẫn với \(\left(m,n\right)=1\))

Do đó ta có đpcm: \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ. 

Giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số hữu tỉ. 

Khi đó \(\sqrt{1+\sqrt{2}}=\frac{a}{b},\left(a,b\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow1+\sqrt{2}=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}=\frac{a^2}{b^2}-1\)là số hữu tỉ. 

Mà \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ do đó mâu thuẫn nên ta có đpcm. 

bài này chỉ cần cm căn 2 là số vô tỉ => đpcm

6, \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{x-\sqrt{x}-2}\)ĐK : \(x\ge0;x\ne4\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2-x-4\sqrt{x}-3-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-x-7\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}-2}\)

7, \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{3\sqrt{x}-3}{x-5\sqrt{x}+6}\)ĐK : \(x\ge0;x\ne4;9\)

\(=\frac{x-4-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-4-x+2\sqrt{x}+3-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)

9, \(\frac{3\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+4}-\frac{x-6\sqrt{x}+5}{2x-7\sqrt{x}-4}\)ĐK : \(x\ge0;x\ne\frac{1}{4}\)

\(=\frac{\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+4\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)-x+6\sqrt{x}-5}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}\)

\(=\frac{3x+14\sqrt{x}+8+2x-3\sqrt{x}+1-x+6\sqrt{x}-5}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}\)

\(=\frac{4x+17\sqrt{x}+4}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(4\sqrt{x}+1\right)}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}=\frac{4\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}-1}\)

8, bạn tự làm nhé 

đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\end{cases}}\)

\(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{x-\sqrt{x}-2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2-x-4\sqrt{x}-3-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{-x-7\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}=\frac{\sqrt{x}+6}{2-\sqrt{x}}\)

đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

Phân thức 1 sai mẫu mình sửa lại nhé

\(\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{15\sqrt{x}-11-\left(3\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{15\sqrt{x}-11-3x-7\sqrt{x}+6-2x-\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{-5x+7\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(5\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{2-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

Vì a² - b = b² - c = c² - a

Ta có a² - b = b² - c

=> (a - b)(a + b) = b - c

=> a + b + 1 = \(\frac{a-c}{a-b}\)

Tương tự ta có : b + c + 1 = \(\frac{b-a}{b-c}\)

a + c + 1 =\(\frac{b-c}{a-c}\)

Khi đó (a + b + 1)(b + c + 1)(a + c + 1) = \(\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-a}{b-c}.\frac{b-c}{a-c}=-1\)(đpcm)