1. Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

=> \(AH^2=BH.HC\)(hệ thức lượng) => \(AH^4=BH^2.HC^2\)

=> \(AB.AC=AH.BC\) (hệ thức lượng)

Xét tam giác AHB vuông tại H có HE là đường cao => \(BH^2=BE.AB\)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao => \(HC^2=FC.AC\)

=> \(AH^4=BH^2.HC^2=BE.AB.FC.AC=BE.FC.BC.AH\)

=> \(AH^3=BC.FC.BE\)

Lại có: HF // AB (vì cùng \(\perp\)AC) =>> \(\widehat{FHC}=\widehat{ABC}\) (đồng vị)

Xét tam giác BEH và tam giác HFC

có: \(\widehat{HEB}=\widehat{HFC}=90^0\)(gt)

   \(\widehat{EBH}=\widehat{FHC}\) (Cmt)

=> \(\Delta\)BEH ∽ \(\Delta\)HFC (g.g)

=> \(\frac{BE}{HF}=\frac{HE}{FC}\) => \(BE.FC=HE.HF\)

Do đó: \(AH^3=BC.BE.FC=BC.HE.HF\)

2. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\)(Định lí Pi - ta - go)

Xét tam giác AHB vuông tại H, có: \(AB^2=BH^2+AH^2\) (Pi - ta - go)

Xét tam giác AHC vuông tại H, có: \(AC^2=AH^2+HC^2\) (Pi - ta - go)

Xét tam giác BHE vuông tại E có: \(BH^2=EB^2+EH^2\)(Pi - ta - go)

Xét tam giác HFC vuông tại F có: \(HC^2=HF^2+FC^2\) (Pi - ta - go)

=> \(BC^2=AH^2+BH^2+BH^2+AH^2=2AH^2+EB^2+EH^2+HF^2+FC^2\)

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=\widehat{AFH\:}=90^0\)=> tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> \(\widehat{EHF}=90^0\) và AH = EF

Xét tam giác EHF vuông tại H có \(EF^2=EH^2+HF^2\) (Pi - ta - go)

hay \(AH^2=EH^2+HF^2\)

Do đó: \(BC^2=2AH^2+AH^2+EB^2+FC^2=3AH^2+EB^2+FC^2\)

3. Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao => \(AB^2=BH.BC\)(hệ thức lượng)

\(AC^2=HC.BC\) (hệ thức lượng)

=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{HC.BC}=\frac{BH}{HC}\) => \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{BH}{HC}\)

4. Từ \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{BH}{HC}\) => \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^4=\frac{BH^2}{HC^2}\)

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao => \(BH^2=BE.AB\)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao => \(HC^2=FC.AC\)

=> \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^4=\frac{AB.BE}{FC.AC}\) => \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^3=\frac{BE}{CF}\)

Ta có: BC=BD+DC=15+20=35(cm)
+ AD là phân giác => DC/DB=AB/AC
=> AB/AC=20/15=4/3
=> AB=4AC/3
lại có AB^2+AC^2=BC^2
<=> 16AC^2/9+AC^2=BC^2
<=> 25AC^2/9=1225
<=> AC^2=441
có tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao
=> AC^2=CH.BC
=> CH=AC^2/BC=441/35=12.6(cm)
=> BH=35-12.6=22.4(cm)

a) \(\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}=\sqrt{2}-1\)

b) \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{3}-1\)

c) \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{3-4\sqrt{3}+4}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}=2-\sqrt{3}\)

d) \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{9-6\sqrt{2}+2}=\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}=3-\sqrt{2}\)

e) \(\sqrt{28-10\sqrt{3}}=\sqrt{25-10\sqrt{3}+3}=\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}=5-\sqrt{3}\)

f)) \(\sqrt{46+6\sqrt{5}}=\sqrt{45+2\sqrt{45}+1}=\sqrt{\left(3\sqrt{5}+1\right)^2}=3\sqrt{5}+1\)

\(a,\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{\sqrt{2}^2-2\sqrt{2}+1}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}\)

\(\left|\sqrt{2}-1\right|=\sqrt{2}-1\)

\(b,\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)đề này mới tính đc

\(\sqrt{\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

\(\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1\)

\(c,\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)

\(\sqrt{2^2-4\sqrt{3}+\sqrt{3}^2}\)

\(\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}\)

\(d,\sqrt{11-6\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{3^2-6\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}\)

\(\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}\)

\(\left|3-\sqrt{2}\right|=3-\sqrt{2}\)

\(e,\sqrt{28-10\sqrt{3}}\)

\(\sqrt{5^2-10\sqrt{3}+\sqrt{3}^2}\)

\(\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(\left|5-\sqrt{3}\right|=5-\sqrt{3}\)

\(f,\sqrt{46+6\sqrt{5}}\)

\(\sqrt{\left(3\sqrt{5}\right)^2+6\sqrt{5}+1}\)

\(\sqrt{\left(3\sqrt{5}+1\right)^2}\)

\(\left|3\sqrt{5}+1\right|=3\sqrt{5}+1\)

= (√2+√3+√6+√8+√4+√4)/(√2+√3+√4)
= [(√2+√3+√4) + (√4+√6+√8)]/(√2+√3+√4)
= [(√2+√3+√4) + (√2.√2+√2.√3+√2.√4)]/(√2+√3+√4)
= [(√2+1)(√2+√3+√4)]/(√2+√3+√4)
= √2 + 1

\(\sqrt{\frac{2a}{3}}\ge0\)

\(\frac{2a}{3}\ge0\)

\(a\ge0\)thì căn thức có nghĩa

Trả lời:

\(\sqrt{\frac{2a}{3}}\) có nghĩa khi \(\frac{2a}{3}\ge0\)\(\Leftrightarrow2a\ge0\Leftrightarrow a\ge0\)

Vậy \(a\ge0\) thì căn thức có nghĩa.

Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{100^2-60^2}\)

\(\Rightarrow AB=80\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABC= AB+AC+BC=80+60+100=240(cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đương cao AH có:

+ \(AH=\frac{AB.AC}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{80.60}{100}\)

\(\Rightarrow AH=48\left(cm\right)\)

+ \(BH=\frac{AB^2}{BC}\)

\(\Rightarrow BH=\frac{80^2}{100}=64\left(cm\right)\)

 \(CH=BC-BH\)

\(\Rightarrow CH=100-64=36\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABH= AB+BH+AH=80+64+48=192(cm)

Chu vi tam giác ACH=AC+CH+AH=60+36+48=144(cm)

\(x+y+2xy-xy\left(x+y\right)=2< =>\left(x+y-2\right)\left(1-xy\right)=0\)

rồi xét từng th thôi nhé 

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x-my=2\\mx+2y=1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}2x-2my=4\\m^2x+2my=m\end{cases}}\)

<=> \(2x+m^2x=4+m\)

<=> \(x\left(m^2+2\right)=4+m\)

<=> \(x=\frac{4+m}{m^2+2}\) => \(y=\frac{1-mx}{2}=\frac{1-m\cdot\frac{4+m}{m^2+2}}{2}=\frac{\frac{m^2+2-4m-m^2}{m^2+2}}{2}\)

=> \(y=\frac{2-4m}{2\left(m^2+2\right)}=\frac{1-2m}{m^2+2}\)

Theo bài ra, ta có: \(3x+2y-1\ge0\)

<=> \(3\cdot\frac{4+m}{m^2+2}+2\cdot\frac{1-2m}{m^2+2}-1\ge0\)

<=> \(\frac{3\left(4+m\right)+2\left(1-2m\right)-m^2-2}{m^2+2}\ge0\)

<=> \(12+3m+2-4m-m^2-2\ge0\) (vì \(m^2+2>0\))

<=> \(-m^2-m+12\ge0\)

<=> \(m^2+4m-3m-12\le0\)

<=> \(\left(m+4\right)\left(m-3\right)\le0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}m+4\ge0\\m-3\le0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}m+4\le0\\m-3\ge0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}m\ge-4\\m\le3\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}m\le-4\\m\ge3\end{cases}}\)

<=> \(-4\le m\le3\)

Ta có \(\Delta HBA\approx\Delta HAC\Rightarrow\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}\)

=> HB.HC = HA²

=> 2HB.HC = \(\frac{288}{25}\)

mà HB + HC = BC =  5 (1)

=> HB² + HC² + 2HB.HC = 25

<=> HB² + HC² - 2.HB.HC = 1,96

<=> HB - HC = 1,4 (2)

Từ (1) và (2) => HB = 3,2 ; HC = 1,8

Mình hỏi tý nè :

Sao cái tam giác ABC vuông tại A rồi thì AB là chiều cao chứ ạ. Hì hì mình nói có gì sai mọi người bảo mình nha.

12 5 là j zợ?

Áp dụng đ/lí pytago vào tam giác ABC vuông tại A CÓ:

AB^2+AB^2=BC^2

Hay: 12^2+5^2=169=BC^2 => BC=13cm

ÁP dụng hệ thức ta có: +) AB^2=BH.BC

Hay: BH=AB^2:BC=144:13 =144/13(cm)

Ta có CH=BC-BH=13-144/13=25/13(cm)

DO KHÔNG RÕ CÂU HỎI NÊN MÌNH CŨNG KO CHẮC LẮM...

HỌC TỐT!!!