a, xét tam giác AEB và tam giác AIC có : ^A chung

^AIC = ^AEB = 90

=> tam giác AEB đồng dạng tam giác AIC (g-g)

b, tam giác AEB đồng dạng với tam giác AIC (câu a)

=> AE/AB = AI/AC (Đn)

xét tam giác AIE và tam giác ACB có : ^A chung

=> tam giác AIE đồng dạng với tam giác ACB (c-g-c)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

<=>\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

<=>\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

<=>\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

<=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=>\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

Luôn đúng với mọi x,y.

Vậy 1/a+1/b>=4/(a+b). Dấu "=" xảy ra<=>x=y

\(\frac{1}{1-ab}=1+\frac{ab}{1-ab}\le1+\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}=1+\frac{2ab}{2-a^2-b^2}=1+\frac{2ab}{2c^2+a^2+b^2}\)

\(=1+\frac{2ab}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\le1+\frac{ab}{\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}=1+\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}\)

\(\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)

Áp dụng BĐT  Cô si, ta có: 

\(\begin{aligned} \frac{1}{1-ab}&=1+\frac{ab}{1-ab} \le 1+\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}=1+\frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2} \\ &=1+\frac{2ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\le 1+\frac{ab}{\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\\& \le 1+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right). \text{ }(1)\end{aligned}\)

Tương tự \(\frac{1}{1-bc}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\left(2\right)\)

               \(\frac{1}{1-ca}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)\left(3\right)\)

\(\Rightarrow VT\le3+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}\right)=\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)