Đặt BC = a; AC = b; AB = c

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABC\)vuông tại A, ta có: \(a^2=b^2+c^2\)

\(\Rightarrow2a^2+2ab+2bc+2ca=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a+b\right)\left(a+c\right)=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)(1)

Áp dụng định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có:

\(\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{CE}{AE+CE}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow\frac{CE}{b}=\frac{a}{a+c}\)

\(\Rightarrow CE=\frac{ab}{a+c}\)

Lại áp dụng định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có:

\(\frac{BO}{OE}=\frac{BC}{CE}=\frac{a}{\frac{ab}{a+c}}=a.\frac{a+c}{ab}=\frac{a+c}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{OE+BO}=\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{BO}{BE}\)

Tương tự ta có: \(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{a^2+b^2+2ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng ) ( do a;b > 0 )

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a;b>0\end{cases}}\Rightarrow a=b>0\)

Vậy ...

Gọi thời gian lúc về là \(x\left(x>15\right)\)\(\left(h\right)\)

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ

Do thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về 1,5 giờ

Nên thời gian lúc đi là : x - 15 (h)

Ta có phương trình :

\(45\times\left(x-15\right)=40\times x\)

\(\Leftrightarrow45x-675=40x\)

\(\Leftrightarrow5x=675\)

\(\Leftrightarrow x=135\left(km\right)\)

Vậy quãng đường AB dài 135 km

       \(x^4-x^2-2=0 \)
<=> \(x^4\) -\(2x^2+x^2\)- 2 = 0
<=> \(x^2\left(x^2-2\right)+\left(x^2-2\right)=0\)
<=> \(\left(x^2-2\right)\left(x^2+1\right)=0\)
<=>  \(\orbr{\begin{cases}x^2-2=0\\x^2+1=0\end{cases}}\)
<=>\(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{2}\\vôlý\end{cases}}\)
  Vậy phương trình có tập nghiệm là S = ( \(\sqrt{2}\))

Ko biết bạn ghi cái điều kiện có thiếu gì ko nha mình xin làm theo cách mình

Ta có a, b > 0(cái này mình đoán thui chứ bạn ghi ab>0)

=> a^2+b^2≥ 2ab 

Quy đồng biểu thức bạn đã cho rồi áp dụng cái vừa ghi trên và giữ nguyên mẫu ta sẽ đc 2

Vậy cái đề

Ko biết bạn ghi cái điều kiện có thiếu gì ko nha mình xin làm theo cách mình

Ta có a, b > 0

(cái này mình đoán thui chứ bạn ghi ab>0) => a^2+b^2≥ 2ab 

Quy đồng biểu thức bạn đã cho rồi áp dụng cái vừa ghi trên và giữ nguyên mẫu ta sẽ đc 2 Vậy cái đề 

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

Mà x+y>1 \(\Rightarrow x^2+y^2>\frac{1}{2}\)

Ta có:  x − y 2 ≥ 0

⇔x 2 + y 2 ≥ 2xy

⇔2x 2 + 2y 2 ≥ x + y 2

⇔x 2 + y 2 ≥ 2 x + y 2

Mà x+y>1 

⇒x 2 + y 2 > 2