\(D=\frac{4x+3}{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow D.x^2+D-4x-3=0\)
\(\Leftrightarrow D.x^2-4x+\left(D-3\right)=0\)
\(\Delta'=4-D\left(D-3\right)=-D^2+3D+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-1\le D\le4\)
Vậy D_max=4, D_min=-1
 

A B x y O C D M

a) Xét \(\Delta\)CAO và \(\Delta\)OBD: ^CAO=^OBD=90⁰; ^AOC=^BDO (Cùng phụ ^BOD)

=> \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)OBD (g.g) => \(\frac{AC}{BO}=\frac{AO}{BD}\Rightarrow AO.BO=AC.BD\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB=AC.BD\Leftrightarrow\frac{1}{4}AB^2=AC.BD\)

\(\Leftrightarrow AB^2=4.AC.BD\)(đpcm)

b) Ta có: \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)OBD (cmt) => \(\frac{AC}{OB}=\frac{OC}{OD}\) hay \(\frac{AC}{OA}=\frac{OC}{OD}\) (Do OA=OB)

=> \(\frac{AC}{OC}=\frac{OA}{OD}\)=> \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)COD (Cạnh huyền cạnh góc vuông)

=> ^ACO=^OCD hay ^ACO=^MCO => \(\Delta\)CAO=\(\Delta\)CMO (Cạnh huyền góc nhọn)

=> AC=CM (đpcm).

Đặt: (a;b;c;d)→(2016;x;y;2015)(a;b;c;d)→(2016;x;y;2015)

Phương trình trở thành:

∑ab+c=2∑ab+c=2

Đây chính là bất đẳng thức NesbitNesbit 4 biến.

Suy ra x=2015;y=2016x=2015;y=2016.

Đặt: (a; b; c; d) --> (2016; x; y; 2015)

Phương trình trở thành: \(\text{∑}\frac{a}{b+c}=2\)

=> x = 2015; y = 2016

nguyenlinh0123

Xét  \(\Delta BEC\) và     \(\Delta CAF\) có:

\(\widehat{CBE}=\widehat{FCA}=90^0\)

\(\widehat{BEC}=\widehat{CAF}\)  (cùng phụ với góc CAE)

suy ra:   \(\Delta BEC~\Delta CAF\)  (g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{BE}{AC}=\frac{BC}{CF}\)

\(\Rightarrow\)\(BE.CF=AC.BC\)

a)  Xét   \(\Delta AEB\) và     \(\Delta AFC\)có:

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^0\)

\(\widehat{BAC}\)  chung

suy ra:   \(\Delta AEB~\Delta AFC\)(g.g)

b)  Xét  \(\Delta HEA\)và    \(\Delta HDB\) có:

\(\widehat{HEA}=\widehat{HDB}=90^0\)

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\)(đối đỉnh)

suy ra:   \(\Delta HEA~\Delta HDB\)(g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{HE}{HD}=\frac{HA}{HB}\)

\(\Rightarrow\)\(HD.HA=HE.HB\)

Thay x = -1 vào vế trái của phương trình, ta có:

\(\left(-1\right)^2\) – 3(-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0

Vậy x = -1 là một nghiệm của phương trình

Tương tự: x = 4 cũng là nghiệm của phương trình

x = 1; x = -4 không phải là nghiệm của phương trình.

\(x^2-3x-4=0\)

\(x^2-4x+x-4=0\)

\(x\left(x-4\right)+\left(x-4\right)=0\)

\(\left(x+1\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=4\end{cases}}\)

\(\text{(2a – b)(4a^2 + 2ab +b^2)}\)

= \(\text{2a.4a^2 + 2a.2ab + 2a.b^2 + (-b).4a^2 + (-b).2ab + (-b).b^2}\)

= \(\text{8a^3 + 4a^2b + 2ab^2 – 4a^2b – 2ab^2 – b^3 = 8a^3 – b^3}\)

2a – b)(4a^2 + 2ab +b^2)

= 2a.4a^2 + 2a.2ab + 2a.b^2 + (-b).4a^2 + (-b).2ab + (-b).b^2

= 8a^3 + 4a^2b + 2ab^2 – 4a^2b – 2ab^2 – b^3

= 8a^3 – b^3

\(2a – b)(4a^2 + 2ab +b^2) = 2a.4a^2 + 2a.2ab + 2a.b^2 + (-b).4a^2 + (-b).2ab + (-b).b^2 = 8a^3 + 4a^2b + 2ab^2 – 4a^2b – 2ab^2 – b^3 = 8a^3 – b^3\)

a)  Tứ giác  \(AEHF\)có:    \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^0\)

\(\Rightarrow\)\(AEHF\) là hình chữ nhật

Xét  \(\Delta AEH\)và   \(\Delta CFH\) có:

\(\widehat{AEH}=\widehat{CFH}=90^0\)

\(\widehat{EAH}=\widehat{FCH}\)  (cùng phụ với góc HAC)

suy ra:    \(\Delta AEH~\Delta CFH\) (g.g)