Lời giải:

a.

$a(a+b)+b(a+2b)=a^2+ab+ab+2b^2=(a^2+2ab+b^2)+b^2=(a+b)^2+b^2\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{R}$ do $(a+b)^2\geq 0, b^2\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{R}$

b.

$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac}{2}$

$=\frac{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)}{2}$

$=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$

a, \(a^2+ab+ab+2b^2=a^2+2ab+2b^2=\left(a+b\right)^2+b^2\ge0\)với mọi a;b

b, \(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)với mọi a;b;c 

a) Áp dụng định lý Pytago ta có: 

\(BC^2=AB^2+AC^2=12^2+16^2=400\Rightarrow BC=20\left(cm\right)\)

b) Áp dụng tính chất tia phân giác ta có: \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow\dfrac{BD}{12}=\dfrac{CD}{16}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{CD}{16}=\dfrac{BD+CD}{12+16}=\dfrac{BC}{28}=\dfrac{20}{28}=\dfrac{5}{7}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\\CD=\dfrac{80}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

c) Ta có: \(\dfrac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{3}{4}\)

\(A=15x^3-6x^2-3x\)

\(B=2x^3-3x-5x^3-x^2+x^2=-3x^3-3x\)

.

ko bít

Ta chứng minh BDT \(2xy\le x^2+y^2\). Thật vậy, BDT này \(\Leftrightarrow0\le x^2-2xy+y^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BDT phụ được cm. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\) 

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC, BD. Áp dụng BDT phụ, ta có \(2OA.OB\le OA^2+OB^2\) (1)

Do tứ giác ABCD là hình thoi nên 2 đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại O. Theo định lý Py-ta-go, ta có \(OA^2+OB^2=AB^2\)

Mặt khác tứ giác ABCD là hình thoi nên \(AB=AD\Rightarrow AB^2=AB.AD\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2OA.OB\le AB.AD\)  \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.2OA.2OB\le AB.AD\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.2OA.2OB\le AB.AD\) \(\Leftrightarrow S_{ABCD}\le AB.AD\)

b) Câu này quá đơn giản rồi. Vì \(AB=AD=a\) nên từ câu a ta có \(S_{ABCD}\le a^2\)

c) Khi \(S_{ABCD}\) đạt GTLN thì theo câu a, dấu "=" sẽ xảy ra khi \(OA=OB\) hay \(AC=BD\), đồng nghĩa với việc 2 đường chéo AC, BD của hình thoi ABCD bằng nhau hay tứ giác ABCD là hình vuông.