Đặt \(x^2+y^2=a;xy=b\) \(\Rightarrow a-b=1\Leftrightarrow b=a-1\)

Từ giả thiết:\(x^2+y^2-xy=1\Leftrightarrow x^2+y^2+\left(x-y\right)^2=2\ge x^2+y^2\)

Và \(2x^2+2y^2=2xy+2\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=\left(x+y\right)^2+2\ge2\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{2}{3}\)

Suy ra:\(\frac{2}{3}\le a\le2\)

Ta có:\(x^4+y^4-x^2y^2=\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2=a^2-3b^2=-2a^2+6a-3\)

Đến đây vẽ bảng biến thiên ra :)) 

Xét BPT: \(\frac{x}{x+1}-2\sqrt{\frac{x+1}{x}}>3\left(1\right)\)

ĐK: x<-1 và x>0

đặt \(t=\sqrt{\frac{x+1}{1}}\Rightarrow t^2=\frac{x+1}{x}\Rightarrow\frac{x}{x+1}=\frac{1}{t^2}\left(t>0\right)\)

vậy BPT (1) trở thành:

\(\frac{1}{t^2}-2t>3\Leftrightarrow2t^2+3t^2-1< 0\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(2t-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow t< \frac{1}{2}\)so với điều kiện t>0 ta được \(0< t< \frac{1}{2}\)

Với 0<t<\(\frac{1}{2}\)có: \(0< \sqrt{\frac{x+1}{x}}< \frac{1}{2}\Leftrightarrow0< \frac{x+1}{x}< \frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+1}{x}>0\\\frac{x+1}{x}-\frac{1}{4}< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+1}{x}>0\\\frac{3x+4}{4x}< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< -1;x>0\\\frac{-4}{3}< x,0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-4}{3}< x< 0\left(tmđk\right)\)