ngu

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(2a+2b+2\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{a}+1\right)+\left(b-2\sqrt{b}+1\right)+\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b}-1\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với a;b không âm)

Vậy BĐT đã cho được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)

Áp dụng bđt côsi với các số không âm ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\\ a+1\ge2\sqrt{a}\\ b+1\ge2\sqrt{b}\)

=> \(a+b+a+1+b+1\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)

=> \(2a+2b+2\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)

=> \(a+b+1\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}\) ( ĐPCM)

a)     với x=25 thỏa mãn điều kiện xác định
Thay x=25 vào biều thức A ta có:
     A=\(\dfrac{\sqrt{25}-3}{\sqrt{25}+1}=\dfrac{5-3}{5+1}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)
 Vậy giá trị của biểu thức A tại x=25 là\(\dfrac{1}{3}\)

b) Ta có B=\(\left(\dfrac{x}{x-4}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)
               =\(\left(\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right)\times\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)
                =\(\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\times\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\) 
               
                =\(\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}}\)
               =\(\dfrac{x-2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

               =\(\text{​​}\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

               =\(\text{​​}\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

               =\(\text{​​}\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\)
      Vậy B=\(\text{​​}\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\) với x≠4 và x≥0
 c)