Đề thi hsg lớp 9 Ninh Bình năm 2018-2019

Không mất tính tổng quát giả sử \(p\le q\le r\)

Với p=2q; 2qr=q+r+162

<=> \(4qr-2q-2r=324\)

\(\Leftrightarrow2q\left(2r-1\right)-\left(2r-1\right)=325\Leftrightarrow\left(2q-1\right)\left(2r-1\right)=5^2\cdot13\)

\(3\le2q-1\le2r-1\Rightarrow9\left(2q-1\right)^2\le\left(2r-1\right)\left(2q-1\right)\)

\(\Leftrightarrow9\le\left(2q-1\right)^2\le325\)

\(\Leftrightarrow3\le2q-1\le18\)

Do 2q-1 là ước của 5².13 nên nên 2q-1 \(\in\left\{5;13\right\}\)

Nếu 2q-1=5 <=> q=3 => r=33 (loại)

Nếu 2q-1=13 <=> q=7 <=> r=13 (tm)

pqr=p+q+r+160 <=> p(qr-1)-q-r=160

<=> (qr-1)(p-1)+pr-1-q-r=160

<=> (qr-1)(p-1)+q(r-1)-(r-1)-2=160

<=> (qr-1)(p-1)+(q-1)(r-1)=162

Nếu p lẻ => q,r lẻ => (qr-1)(p-1)(r-1) chia hết cho 4

mà 162 không chia hết cho 4 => Vô lý

Vậy bộ ba số nguyên tố cần tìm là (2;7;13) và các hoán vị

\(x^2-x-1=0\)

Ta có \(\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4.1.\left(-1\right)=1+4=5>0\); \(\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}\)

Phuông trình có 2 nghiệm phân biệt 

\(a=x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

\(b=x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

Ta có \(a^{2007}+b^{2007}+a^{2009}+b^{2009}\)

\(\Leftrightarrow a^{2007}.\left(1+a^2\right)+b^{2007}.\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5}.\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}+\sqrt{5}.\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5}.\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}\right]⋮5\)  (ĐPCM)

Nhớ k cho mình nhé 

Đề yêu cầu chứng minh gì vậy bạn? Bạn kiểm tra lại đề

đê yêu cầu CM  \(a^{2007}+b^{2007}+a^{2009}+b^{2009}\) chia hết cho 5

a, Ta có \(\widehat{ABE}=\widehat{AFB}=\frac{1}{2}sd\widebat{BE}\)

Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta AFB\)có

\(\widehat{A}\)chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{AFB}\)(cmt)

\(\Rightarrow\Delta ABE~\Delta AFB\left(g-g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AB}{ÀF}=\frac{AE}{AB}\)(cặp cạnh tỉ lệ )

                                                       \(\Rightarrow AB^2=AE.AF\)(đpcm)

b, Vì BK là phân giác của góc EBF (gt) \(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\Leftrightarrow\widebat{EK}=\widebat{KF}\)

Xét (O) có Ok là bán kính; \(\widebat{BK}=\widebat{CK}\)(cmt)  \(\Rightarrow OK\perp EF\Leftrightarrow\widehat{AIO}=90^o\)

Vì AB là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\widehat{ABO}=90^o\left(t/c\right)\)

Xét tứ giác ABOI có \(\widehat{ABO}+\widehat{AIO}=180^o\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau 

\(\Rightarrow\)Tứ giác ABOI nội tiếp (DHNB)

c, Ta có \(\widehat{ABD}=\frac{1}{2}sd\widebat{AK}\)

\(\widehat{ADB}=\frac{sd\widebat{KF}+sd\widebat{BE}}{2}\)mà \(\widebat{EK}=\widebat{KF}\left(cmt\right)\) \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\frac{sd\widebat{EK}+sd\widebat{BE}}{2}=\frac{1}{2}sd\widebat{BK}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\) \(\Rightarrow\Delta ABD\)cân tại A (đ/n)

                                     \(\Rightarrow AB=AD\left(đpcm\right)\)