Câu 3: 

a: Xét ΔACE vuông tại A và ΔKCE vuông tại K có

CE chung

\(\widehat{ACE}=\widehat{KCE}\)

Do đó: ΔACE=ΔKCE

=>CA=CK và EA=EK

Ta có: CA=CK

=>C nằm trên đường trung trực của AK(1)

Ta có: EA=EK

=>E nằm trên đường trung trực của AK(2)

Từ (1),(2) suy ra CE là đường trung trực của AK

=>CE\(\perp\)AK

b: Xét ΔABC vuông tại A có \(cosACB=\dfrac{AC}{BC}\)

=>\(\dfrac{AC}{BC}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>BC=2AC

Xét ΔABC vuông tại A có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ABC}=90^0-60^0=30^0\)

CE là phân giác của góc ACB

=>\(\widehat{ACE}=\widehat{BCE}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=30^0\)

Xét ΔEBC có \(\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\left(=30^0\right)\)

nên ΔEBC cân tại E

=>EB=EC

mà EC>AC(ΔEAC vuông tại A)

nên EB>AC

c: Gọi H là giao điểm của BD với CA

Xét ΔCHB có

CD,BA là các đường cao

CD cắt BA tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔCHB

=>HE\(\perp\)CB

mà EK\(\perp\)CB

nên H,E,K thẳng hàng

=>CA,EK,BD đồng quy

Bài 4:

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>BA=BE

b: Xét ΔABC có AB<AC

mà \(\widehat{ACB};\widehat{ABC}\) lần lượt là góc đối diện của các cạnh AB,AC

nên \(\widehat{ACB}< \widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AMD}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right);\widehat{ABC}=\widehat{ADM}\left(=90^0-\widehat{BME}\right)\)

nên \(\widehat{AMD}< \widehat{ADM}< \widehat{DAM}\)

=>AD<AM<DM

c: Xét ΔDAM vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

\(\widehat{ADM}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAM=ΔDEC

=>DM=DC

=>D nằm trên đường trung trực của MC(1)

ta có: BA+AM=BM

BE+EC=BC

mà BA=BE và AM=EC(ΔDAM=ΔDEC)

nên BM=BC

=>B nằm trên đường trung trực của MC(2)

Ta có: KM=KC

=>K nằm trên đường trung trực của MC(3)

từ (1),(2),(3) suy ra B,D,K thẳng hàng

a: \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)

=>\(2x^2-x+2⋮x+1\)

=>\(2x^2+2x-3x-3+5⋮x+1\)

=>\(5⋮x+1\)

=>\(x+1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;-2;4;-6\right\}\)

b: \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)

=>\(3x^2-4x+6⋮3x-1\)

=>\(3x^2-x-3x+1+5⋮3x-1\)

=>\(5⋮3x-1\)

=>\(3x-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(3x\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

=>\(x\in\left\{\dfrac{2}{3};0;2;-\dfrac{4}{3}\right\}\)

mà x nguyên

nên \(x\in\left\{0;2\right\}\)

c: \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)

=>\(-2x^3-7x^2-5x+5⋮x+2\)

=>\(-2x^3-4x^2-3x^2-6x+x+2+3⋮x+2\)

=>\(3⋮x+2\)

=>\(x+2\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(x\in\left\{-1;-3;1;-5\right\}\)

Đặt A = (x² + 6)/(x² + 1)

Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi x² + 1 nhỏ nhất

Ta có:

x² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ x² + 1 ≥ 1 với mọi x ∈ R

⇒ x² + 1 nhỏ nhất là 1 khi x = 0

⇒ Giá trị lớn nhất của A là:

(0 + 6)/(0 + 1) = 6

Bổ sung đề: ΔABC vuông tại A

a: Xét ΔEAB và ΔEND có

EA=EN

\(\widehat{AEB}=\widehat{NED}\)(hai góc đối đỉnh)

EB=ED

Do đó: ΔEAB=ΔEND

=>\(\widehat{EAB}=\widehat{END}\)

=>AB//ND

b: Ta có: AB//ND

AB\(\perp\)AC

Do đó: ND\(\perp\)AC

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên \(AD=\dfrac{BC}{2}=AB=BD\)

=>ΔABD đều

Ta có: ΔABD đều

mà AE là đường trung tuyến

nên AE\(\perp\)BD

Xét ΔANC có

CE,ND là các đường cao

CE cắt ND tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔANC

=>AD\(\perp\)NC

Còn câu c nx ạ 

\(Q\left(2\right)=3.2-6=0\)

\(P\left(-1\right)=4.\left(-1\right)+2=-2\)

a) *) P(x) có:

- Bậc 3.

- Hạng tử cao nhất: 1

- Hạng tử tự do: 1

*) Q(x) có:

- Bậc 4

- Hạng tử cao nhất: 1

- Hạng tử tự do: -1

b) P(x).A(x) = Q(x)

A(x) = Q(x) : P(x)

= (x⁴ - 1) : (x³ + x² + x + 1)

= (x² - 1)(x² + 1) : [(x³ + x²) + (x + 1)]

= (x - 1)(x + 1)(x² + 1) : [x²(x + 1) + (x + 1)]

= (x - 1)(x + 1)(x² + 1) : [(x + 1)(x² + 1)]

= (x - 1) . [(x + 1) : (x + 1)] . [(x² + 1) : (x² + 1)]

= x - 1

a: \(P\left(x\right)=9x^4+6x-3x^6+7\)

\(=-3x^6+9x^4+6x+7\)

bậc là 6

b: \(A\left(x\right)=-5x^6+3x-3x^2+5x^3+5x^6-1\)

\(=\left(-5x^6+5x^6\right)+5x^3-3x^2+3x-1\)

\(=5x^3-3x^2+3x-1\)

bậc là 3

c: \(B\left(x\right)=7x^3+5x^4-2x+x^2-3\)

\(=5x^4+7x^3+x^2-2x-3\)

Bậc là 4

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔADC vuông tại A có

AB=AD

AC chung

Do đó: ΔABC=ΔADC

b: Xét ΔCFB và ΔCED có

CF=CE

\(\widehat{FCB}\) chung

CB=CD
Do đó: ΔCFB=ΔCED

=>BF=DE

c: ΔCFB=ΔCED

=>CB=CD
=>ΔCBD cân tại C

Ta có: ΔCBD cân tại C

mà CG là đường trung tuyến

nên CG là đường trung trực của BD(1)

Ta có: CF+FD=CD

CE+EB=CB

mà CF=CE và CD=CB

nên FD=EB

Xét ΔFDB và ΔEBD có

FD=EB

BD chung

FB=ED

Do đó: ΔFDB=ΔEBD

=>\(\widehat{IBD}=\widehat{IBD}\)

=>IB=ID

=>I nằm trên đường trung trực của BD(2)

Từ (1),(2) suy ra A,G,I thẳng hàng

Tùy

theo trường thôi nha

Hai đại lượng này tỉ lệ thuận hay nghịch vậy em?