Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\Delta'=(3m+1)^2-8(3m-1)>0$

$\Leftrightarrow 9(m^2-2m+1)>0$

$\Leftrightarrow 9(m-1)^2>0$

$\Leftrightarrow m-1\neq 0\Leftrightarrow m\neq 1$
Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt thì:
$x_1+x_2=\frac{3m+1}{2}$

$x_1x_2=\frac{3m-1}{2}$

$\Rightarrow x_1x_2+1-(x_1+x_2)=0$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=0$

$\Leftrightarrow x_1=1$ hoặc $x_2=1$

Vì $|x_1|=2|x_2|+5\geq 5$ nên $x_2=1$

Khi đó:
$|x_1|=2|x_2|+5=2.1+5=7$

$\Rightarrow x_1=\pm 7$

Nếu $x_1=7$:

$\Rightarrow x_1+x_2=\frac{3m+1}{2}$

$\Leftrightarrow 8=\frac{3m+1}{2}\Leftrightarrow m=5$ (tm)

Nếu $x_1=-7$:

$\Rightarrow x_1+x_2=\frac{3m+1}{2}$

$\Leftrightarrow -6=\frac{3m+1}{2}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-13}{3}$

Bất đẳng thức của em bị sai (ngược chiều). BĐT đúng phải là:

\(\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}+\dfrac{bc}{b^2+ab+ca}+\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)

Chứng minh:

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Áp dụng Bunhiacopxki:

\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow P\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ab+ca\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{ab^3+bc^3+ca^3+2abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(ab^3+bc^3+ca^3+2abc\left(a+b+c\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)\le a^3b+b^3c+c^3a\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\) (đúng theo C-S)

Gọi số học sinh nam của lớp đó là: \(x\left(hs\right)\)

      số học sinh nữ của lớp đó là: \(y\left(hs\right)\)

ĐK: \(x,y>0;x,y\in N\) 

Theo đề bài \(\dfrac{1}{2}\) số học sinh nam và \(\dfrac{5}{8}\) số học sinh nữ đăng ký còn lại 16 học sinh không đi đấu làm cổ động viên nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{8}y=x+y-16\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}y=16\left(1\right)\) 

Mà nam nữ đăng ký thành cặp 1 nam và 1 nữ nên ta có: \(\dfrac{1}{2}x=\dfrac{5}{8}y\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}y=16\\\dfrac{1}{2}x=\dfrac{5}{8}y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=16\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy lớp 9A có số học sinh là: \(x+y=20+16=36\left(hs\right)\)

Với \(0< x< \sqrt{3}\) ta có đánh giá sau:

\(\dfrac{1}{2-x}\ge\dfrac{x^2+1}{2}\)

Thực vậy, do \(x< \sqrt{3}\Rightarrow2-x>0\), BĐT tương đương:

\(2\ge\left(2-x\right)\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-2x^2+x\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(x>0\))

Áp dụng cho bài toán:

\(\dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c}\ge\dfrac{a^2+1}{2}+\dfrac{b^2+1}{2}+\dfrac{c^2+1}{2}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

 Trước khi xem lời giải của mình thì bạn chú ý là trong đó có sử dụng những kí hiệu, thuật ngữ và tính chất khá khó hiểu với học sinh cấp II (thậm chí một vài bạn cấp III cũng chưa chắc đã hiểu thấu). Vì vậy nếu có gì khúc mắc trong lời giải thì bạn cứ nhắn tin riêng cho mình nhé. 

 Trước hết ta đến với các định nghĩa sau:

 Định nghĩa 1: Với điểm X nằm ngoài đường tròn (I), kí hiệu \(d_X\) là đường thẳng nối 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến qua X ứng với (I).

 Định nghĩa 2: Còn với điểm (I) nằm trong đường tròn, nếu lấy điểm Y trên tia IX mà \(IY.IX=R^2\) thì d_X lại là đường thẳng qua Y và vuông góc với IX.

 Định nghĩa 3: Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm trên 1 đường thẳng mà thỏa mãn \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CB}{CD}\) thì ta kí hiệu \(\left(BDCA\right)=-1\) và nếu lấy một điểm O bất kì nằm ngoài đường thẳng đó thì ta kí hiệu \(O\left(BDCA\right)=\left(OB,OD,OC,OA\right)=-1\)

 Sau đây là một số tính chất: 

 Tính chất 1: \(d_X\perp IX\), hiển nhiên.

 Tính chất 2: \(Y\in d_X\Leftrightarrow X\in d_Y\) , cũng quá hiển nhiên.

 Tính chất 3: Từ một điểm X nằm ngoài I, vẽ cát tuyến XUV với U, V thuộc (I). Khi đó một điểm Y bất kì thuộc cát tuyến này mà thỏa mãn \(\left(UVYX\right)=-1\) \(\Leftrightarrow Y\in d_X\). 

 Tính chất 4: Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm trên đường thẳng d thỏa mãn \(\left(BDCA\right)=-1\) và 1 điểm O nằm ngoài d. Khi đó nếu vẽ 1 đường thẳng d' khác d cắt OA, OB, OC, OD lần lượt tại A', B', C', D' thì \(\left(B'D'C'A'\right)=-1\)

 Tính chất 5: Cho 4 điểm A, B, C, D nằm trên d và một điểm O nằm ngoài d. Khi đó kẻ một đường thẳng song song với một đường bất kì trong số OA, OB, OC, OD và cắt 3 đường còn lại tại M, N, P (N nằm giữa M và P). Khi đó M là trung điểm của NP \(\Leftrightarrow\left(BDCA\right)=-1\)

 Quay trở lại bài toán chính.

 Gọi M là trung điểm BC, K' là giao điểm của AM và EF. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại T.

 Ta sẽ chứng minh \(K'\equiv K\) hay D, E, K' thẳng hàng.

 Thật vậy, vì AT//BC và M là trung điểm BC nên theo tính chất 5\(\left(AB,AC,AM,AT\right)=-1\). Áp dụng tính chất 4, ta được \(\left(EFK'T\right)=-1\), điều này có nghĩa là \(T\in d_{K'}\) do tính chất 3.

 Hơn nữa, \(K'\in EF\equiv d_A\) nên \(A\in d_{K'}\) (tính chất 2). Do đó \(AT\equiv d_{K'}\) dẫn đến \(IK'\perp AT\) (tính chất 1).

 Do AT//BC nên \(IK'\perp BC\). Mà \(ID\perp BC\) nên D, I, K' thẳng hàng hay \(K'\equiv K\). Ta có đpcm. 

Ta thấy \(10^2!=100!=1.2.3...100\) nên có chữ số tận cùng là 0.

số 0

a)

b)

Một cách tiếp cận là ta sẽ lập công thức tổng quát của dãy \(U_n\):

Ta có \(U_{n+2}=3U_{n+1}-2U_n\)

\(\Leftrightarrow\) \(U_{n+2}-2U_{n+1}=U_{n+1}-2U_n\)

\(\Rightarrow U_{n+2}-2U_{n+1}=U_{n+1}-2U_n=U_n-2U_{n-1}=...=U_1-2U_0=-1\)

Vậy \(U_{n+2}-2U_{n+1}=-1\) hay \(U_{n+1}=2U_n-1\)

\(\Leftrightarrow U_{n+1}-1=2\left(U_n-1\right)\) 

\(\Rightarrow U_n-1=2\left(U_{n-1}-1\right)=4\left(U_{n-2}-1\right)=...=2^n\left(U_0-1\right)=2^n\)

\(\Rightarrow U_n=2^n+1\)

Do đó \(U_{2n}+U_{n+1}-1\)

 \(=2^{2n}+1+2^{n+1}+1-1\)

 \(=\left(2^n\right)^2+2.2^n+1\)

 \(=\left(2^n+1\right)^2\) là số chính phương với mọi \(n\)

Ta có đpcm.

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{4}{x^2}-4-4\left(x-\dfrac{2}{x}\right)-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2-4\left(x-\dfrac{2}{x}\right)-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{2}{x}+1\right)\left(x-\dfrac{2}{x}-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{2}{x}+1=0\\x-\dfrac{2}{x}-5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x-2=0\\x^2-5x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow...\)