Ta có người thứ hai đi lúc 8 giờ 45 phút.

Quãng đường người thứ nhất đi trước người thứ hai: \(s_1=10.2=20\left(km\right)\)

Quãng đường hai người cách nhau lúc 8 giờ 45 phút là: \(s_2=S_{AB}-s_1=56-20=36\left(km\right)\)

Thời gian để họ gặp nhau kể từ khi người thứ hai đi là: \(t=\frac{s_2}{10+4}=\frac{36}{14}=\frac{18}{7}\left(giờ\right)\)

\(\frac{18}{7}\) giờ \(\approx\) 2 giờ 34 phút 17 giây

Do đó họ gặp nhau lúc 11 giờ 19 phút 17 giây

Chỗ gặp nhau cách A: \(s_3=s_{AB}-4.\frac{18}{7}=56-\frac{72}{7}=\frac{320}{7}\left(km\right)\)

Đến 10 giờ 45 phút họ gặp nhau và chỗ đó cách điểm A 40km

\(\hept{\begin{cases}2x=\sqrt{y+3}\left(1\right)\\2y=\sqrt{z+3}\left(2\right)\\2z=\sqrt{x+3}\left(3\right)\end{cases}}\)(*)

Do \(\hept{\begin{cases}\sqrt{y+3}\ge0\\\sqrt{z+3}\ge0\\\sqrt{x+3}\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x\ge0\\2y\ge0\\2z\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\z\ge0\end{cases}}}\)

Do 2 vế của các phương trình (1)(2)(3) không âm, bình phương 2 vế của mỗi phương trình ta được hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=z+3\\\left(2z\right)^2=x+3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+\left(2z\right)^2=x+y+z+9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+\left(2z\right)^2-x-y-z-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left[\left(2x\right)^2-2.2x.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\left[\left(2y\right)^2-2.2y.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\left[\left(2z\right)^2-2.2z.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\frac{141}{16}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2z+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{141}{16}=0\left(4\right)\end{cases}}\)

Do \(\left(2x+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2z+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{141}{16}>0\)

nên phương trình (4) vô nghiệm

=> Phương trình (*) vô nghiệm

bạn trên giải sai rồi 

Gọi 2 đường trung bình của hình vuông (do hình vuông cũng là hình thang) lần lượt là MN và EF.

Trên MN lấy 2 điểm P,Q sao cho MN = 3MP = 3NQ (như hình vẽ):

Gọi R, S là giao điểm của một đường thẳng bất kì đi qua P và cắt hai cạnh của hình vuông.

Ta có: \(S_{ARSD}=\frac{\left(AR+DS\right).AD}{2};S_{BRSC}=\frac{\left(BR+CS\right).BC}{2}=\frac{\left(BR+CS\right).AD}{2}\)

Vì MP là đường trung bình của hình thang ARSD, NP là đường trung bình của hình thang BRSC

\(\Rightarrow MP=\frac{AR+DS}{2};NP=\frac{BR+CS}{2}\)

\(\Rightarrow S_{ARSD}=AD.MP;S_{BRSC}=AD.NP\)

Ta lại có: MN = 3 MP

\(\Rightarrow MN-MP=2MP\)

\(\Rightarrow NP=2MP\)

\(\Rightarrow S_{ARSD}=0,5.S_{BRSQ}\)(Ta được một đường thẳng thỏa mãn đề bài)

Chứng minh tương tự, ta có đường thẳng đi qua Q cũng thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Suy ra từ một đường trung bình sẽ có 2 điểm nằm trên nó mà các đường thẳng đi qua nó cắt 2 cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài. Mà hình vuông có 2 đường trung bình nên sẽ có 4 điểm mà các đường thẳng đi qua thỏa mãn các tính chất trên.

Vì vậy, các đường thẳng thỏa mãn muốn thỏa mãn yêu cầu đề bài phải đi qua 1 trong 4 điểm trên.

Ta lại có: 2005 : 4 = 501 (dư 1)

Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất 502 đường thẳng đồng quy tại 1 trong số 4 điểm. Bài toán được chứng mình.

- Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình vuông, bởi vì nếu thế chúng chia hình vuông thành một tam giác và ngũ giác (chứ không phải chia hình vuông thành hai tứ giác)

- Do đó, mỗi đường thẳng (trong số chín đường thẳng) đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và không đi qua một đỉnh nào của hình vuông cả.

- Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối và tại các điểm M và N

Ta có: \(\frac{S_{ABMN}}{S_{MCND}}\)= \(\frac{1}{2}\) <=> \(\frac{EJ}{JF}\)= \(\frac{1}{2}\)

(ở đây E và F là các trung điểm của AB và CD tương ứng)

- Gọi E, F, P, Q    tương ứng là các trung điểm của AB, CD, BC, AD. Gọi là các điểm sao cho nằm trên nằm trên và thỏa mãn:

\(\frac{EJ_1}{J_1F}=\frac{FJ_2}{J_2P}=\frac{PJ_3}{J_3Q}=\frac{QJ_4}{J_4E}=\frac{1}{2}\)

-Khi đó từ đó lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu của đề bài phải đi qua một trong 4 điểm nói trên. -Vì có 2005 đường thẳng, nên theo nguyên lý Dirichle phải tồn tại ít nhất một trong 4 điểm sao cho nó có ít nhất [2005:4]+1=502 trong 2005 đường thẳng đã cho đi qua

Vậy có ít nhất 502 đường thẳng trong 2005 đường thẳng đã cho đi qua một điểm.

a) Ta thấy \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow\widebat{BD}=\widebat{DC}\)

\(\Rightarrow\widehat{HAI}=\widehat{CKD}\)   (Hai góc nội tiếp chắn hai cùng bằng nhau)

Do DK là đường kính nên \(\widehat{KCD}=90^o\)

Suy ra \(\Delta AHI\sim\Delta KCD\left(g-g\right)\)

b) Ta thấy \(\widehat{BID}=\widehat{ABI}+\widehat{BAD}\)  (Tính chất góc ngoài)

Mà \(\widehat{ABI}=\widehat{IBC};\widehat{BAD}=\widehat{DBC}\) nên \(\widehat{BID}=\widehat{IBC}+\widehat{CBD}=\widehat{IBD}\)

Suy ra DB = DI

Lại có \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow BD=DC\)

Nên DI = DB = DC

c) Kéo dài OI, cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. 

Ta có ngay \(\Delta EAI\sim\Delta DFI\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IA}{IF}=\frac{IE}{ID}\Rightarrow IA.ID=IE.IF\)

\(=\left(OE-OI\right)\left(OI+OF\right)=R^2-d^2\)

d) Ta có : \(\Delta AHI\sim\Delta KCD\left(cma\right)\Rightarrow\frac{IA}{KD}=\frac{HI}{CD}\Rightarrow IA.CD=KD.HI\)

\(\Rightarrow IA.ID=2OD.HI=2Rr\)

Từ câu c suy ra \(2Rr=R^2-d^2\Leftrightarrow d^2=R^2-2Rr\)

11nha!

11 nha bạn

Đầu tiên ta xử lý cái thời gian nghỉ 1h trước giả sử thời gian nghỉ lần 4 cũng là 10' thì thời gian người đó đã đi là:

\(12-4-\frac{5}{6}=\frac{43}{6}\left(h\right)\)

Thời gian mỗi lần người đó đi rồi nghỉ là:

\(\frac{4}{5}+\frac{1}{10}=\frac{29}{30}\left(h\right)\)

Gọi số lần người đó nghỉ là n thì ta có:

\(n=\left[\frac{43}{6}:\frac{29}{30}\right]=7\)

Thời gian người đó đi quãng đường cuối là: 

\(\frac{43}{6}-\frac{7.29}{30}=\frac{2}{5}\left(h\right)\)

Vậy quãng đường người đó đã đi là:

\(4.7+\frac{4.2}{5}=30\left(km\right)\)

Bài này chỗ cuối cùng do số 4 cạnh số 5 nên bấm nhầm qua số 4 mất. Nhưng kết quả vẫn vậy nhé. Chỉ cần thay số 4 thành số 5 là được. Chỗ 4.7 + 4.2/5 = 30 thay thành 4.7 + 5.2/5 = 30 nha

C, d của VT đâu b

Em xem lại đề nhé.

bạn học lớp 9 à

a) Xét \(\Delta\)BAE: Có đường trung tuyến AO (O thuộc BE) với AO=BO=EO=1/2BE

=> \(\Delta\)BAE vuông tại A hay EA vuông góc AB

Mà AB và CD vuông góc với nhau => AE//CD => Tứ giác AECD là hình thang (1)

Lại có: 4 điểm A;E;C;D cùng nằm trên (O;R) => ) thuộc trung trực của AE và CD (2)

Từ (1) VÀ (2) => Hình thang AECD có trục đối xứng => Tứ giác AECD là hình thang cân

=> AC=DE (2 đg chéo) (đpcm).

b) Do AB vuông góc CD tại I 

Ta có: \(IA^2+IC^2=AC^2\)(Định lí Pytagorean)

\(IB^2+ID^2=BD^2\)(Định lí Pytagorean)

\(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=AC^2+BD^2\)

Vì \(AC=DE\)(cmt) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=DE^2+BD^2\)(3)

Chứng minh được \(\Delta\)BDE vuông tại D (Có trung truyến DO bằng 1/2 cạnh tương ứng BE)

\(\Rightarrow DE^2+BD^2=BE^2\)(4)

Thay (4) vào (3) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=BE^2\)(5)

R là bán kính của đường trond, BE là đường kính \(\Rightarrow BE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)(6)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=4R^2\) (đpcm).

c) Mình chưa nghĩ ra ^^ 

a) Ta thấy BE là đường kính của (O). Suy ra ^BAE chắn nửa đường tròn hay AB vuông góc AE

Do đó AE // CD. Mà AE,CD là hai dây của đường tròn (O) nên (AC = (DE tức AC = DE (đpcm).

b) Tương tự câu a, \(\Delta\)BED vuông tại D. Áp dụng ĐL Pytagoras ta có:

\(\left(IA^2+IC^2\right)+\left(IB^2+ID^2\right)=AC^2+BD^2=DE^2+BD^2=BE^2=4R^2\)(đpcm).

c) Áp dụng ĐL Pytagoras và hệ thức lượng trong đường tròn ta có:

\(AB^2+CD^2=\left(IA+IB\right)^2+\left(IC+ID\right)^2=\left(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\right)+2\left(IA.IB+IC.ID\right)\)

\(=4R^2+4\left(R^2-OI^2\right)=8R^2-4OI^2\)(đpcm).