Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\left(\sqrt{a^4+a+1}-a^2\right)\left(\sqrt{a^4+a+1}+a^2\right)=a^4+a+1-a^4=a+1\) nên
\(P=\sqrt{a^4+a+1}+a^2\)
Từ giả thiết \(4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\) suy ra \(a^2=\frac{-\sqrt{2}}{4}\left(a-1\right)\), do đó \(a^4=\frac{1}{8}\left(a^2-2a+1\right)\) và
\(a^4+a+1=\frac{1}{8}\left(a^2-2a+1\right)+a+1=\frac{\left(a+3\right)^2}{8}\).
Lại do giả thiết \(a>0\) suy ra \(\sqrt{a^4+a+1}=\sqrt{\frac{\left(a+3\right)^2}{8}}=\frac{a+3}{2\sqrt{2}}\).
Từ đó \(P=\sqrt{a^4+a+1}+a^2=\frac{a+3}{2\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}\left(a-1\right)}{4}=\frac{\sqrt{2}\left(a+3\right)-\sqrt{2}\left(a-1\right)}{4}=\sqrt{2}\)
t lắm tắt luôn nhé có nhiều câu quá
áp dụng bdt cô si ta có
a) \(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{1.xyz}{xyz}}=4\)
vậy Min của T là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
b)
áp dụng BDT cosi ta có
\(x+y+Z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{3}{xyz}+3xyz\ge2\sqrt{\frac{3.3xyz}{xyz}}=6\)
+ vế với vế ta được
\(T+3xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}+6\)
\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3xyz\)
có \(xyz\le\frac{\left(x+y+Z\right)^2}{27}\Rightarrow-xyz\ge-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{27}\) cùng dấu > thay vào được
\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Có \(x^2+1\ge2x\)
\(y^2+1\ge2y\)
\(z^2+1\ge2z\) (cosy)
+ vế với vế ta được
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(3\ge\left(x+y+z\right)\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-3\) cùng dấu > ta thay được
\(\Rightarrow T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(3\right)^3}{27}\)
\(\Rightarrow T\ge6\) dấu = xảy ra khi x=y=z=1
3) dự đoán của chúa pain x=y=z = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
thử thay vào
\(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}^3}}\)
số xấu lắm m tự làm đi tương tự câu 1) 2)
1) dự đoán của chúa Pain x=y=z=1
áp dụng BDT cô si ta có
\(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{xyz}{xyz}}=4.\)
Vậy Min là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
2 chia cả tử cả mẫu cho \(x^2+y^2+z^2=3\) ta được
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{3}{xyz}\)
thay số ta được
\(\left(x+y+z+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}+\frac{y}{zx}\right)\)
áp dụng Cô si ta được
\(VT\ge6\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2x^2}}=6\)
vậy Min là 6 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
3) TƯỢNG TỰ cậu 2
chia xyz cho 2 vế
\(x^2+y^2+z^2=1\)
ta được
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{1}{xyz}\)
thay số
\(\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta được
\(\left(\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{y}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\ge....\)
tự làm
Ta có nếu x=0 hoặc y=0 hoặc z=0 thì hpt vô nghiệm. Vậy x,y,z khác 0
\(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{x+y}=\frac{6}{5}\\\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}\\\frac{zx}{z+x}=\frac{12}{7}\end{cases}}\)nghịch đảo ta có (nghịch đảo đc vì x,y,z khác 0)\(\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}\\\frac{z+x}{xz}=\frac{7}{12}\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{7}{12}\end{cases}}\)
Đặt a=\(\frac{1}{x}\),b=\(\frac{1}{y}\),c=\(\frac{1}{z}\)ta có \(\hept{\begin{cases}a+b=\frac{5}{6}\\b+c=\frac{3}{4}\\c+a=\frac{7}{12}\end{cases}}\) <=>\(\hept{\begin{cases}a+b+c=\left(\frac{5}{6}+\frac{3}{4}+\frac{7}{12}\right):2\\b=\frac{5}{6}-a\\c=\frac{7}{12}-a\end{cases}}\)
Thay vào giải ta có \(a+b+c=\frac{13}{12}\)
\(a+\frac{5}{6}-a+\frac{7}{12}-a=\frac{13}{12}\) => \(a=\frac{1}{3}\)=>\(x=3\)
tiếp tục tìm đc \(b=\frac{1}{2}\)=>\(y=2\)
\(c=\frac{1}{4}\)=>\(z=4\)
Vậy nghiệm hpt là \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\\z=4\end{cases}}\)
Đặt \(M=\hept{\begin{cases}\frac{xy}{x+y}=\frac{6}{5}\\\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}\\\frac{zx}{z+x}=\frac{12}{7}\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{xy}{x+y}=\frac{6}{5}\Leftrightarrow xy=6\&x+y=5\)
\(\Rightarrow x=5-6=\left(-1\right)\)
\(\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow yz=4\&y+z=3\)
\(\Rightarrow y=3-4=\left(-1\right)\)
\(\frac{zx}{z+x}=\frac{12}{7}\Leftrightarrow zx=12;z+x=7\Rightarrow z=7-12=-5\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-1\\z=-5\end{cases}}\)
Ta có:
\(xy+yz+zx=4xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)
\(P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
áp dụng cô si sháp cho 4 số ta được :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\) Luôn đúng , ( tự chứng minh )
\(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\ge\frac{1}{a+b+c+d}\) luôn luôn đúng
áp dụng vào P ta được như sau
\(\frac{1}{x+x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) luôn đúng :))
\(\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
Cộng tất cả vào ta được
\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)\)
Thèo đề \(xy+yz+xz=4xyz\Leftrightarrow xy+yz+xz=xyz+xyz+xyz+xyz\)
Tao cũng éo hiểu tại sao nó = nhau được
1 đề sai , 2 tao sai thế thôi
\(1)\hept{\begin{cases}x\sqrt{5}-\left(1+\sqrt{3}\right)y=1\left(1\right)\\\left(1-\sqrt{3}\right)x+y\sqrt{5}=1\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) ta rút ra được : \(x=\frac{1+\left(1+\sqrt{3}\right)y}{\sqrt{5}}\left(3\right)\)
Thay (3) vào phương trinh (2) ta được :
\(\frac{1+\left(1+\sqrt{3}\right)y}{\sqrt{5}}.\left(1-\sqrt{3}\right)+y\sqrt{5}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{3}+\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)y+5y}{\sqrt{5}}=1\)
\(\Leftrightarrow1-\sqrt{3}-2y+5y=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow3y=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-1}{3}\)vào (3) ta được :
\(x=\frac{1}{\sqrt{5}}.\left[1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-1}{3}\right]\)
\(x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+1}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+1}{3};\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-1}{3}\right)\)
Thôi làm luôn ( ͡° ͜ʖ ͡°)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{3}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x,y,z>0\end{cases}}\)
Và \(BDT\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=1;b=2;c=3\)
Ta có:\(3x^2-4xy+3y^2=25\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2+x^2+y^2=25\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2+x^2+y^2=25\Leftrightarrow x^2+y^2=25-2\left(x-y\right)^2\le25\)
\(\Rightarrow\)GTLN của P là 25 đạt được khi x=y\(\Rightarrow3x^2-4x^2+3x^2=25\Rightarrow2x^2=25\Rightarrow x=\frac{5}{\sqrt{2}}=y\)
Lại có:\(3x^2-4xy+3y^2=25\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=25+4xy\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)+2\left(x^2+y^2\right)=25+2x^2+4xy+2y^2\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2\right)=25+2\left(x+y\right)^2\ge25\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge5\)
\(\Rightarrow\)GTNN của P là 5 đạt được khi \(x=-y\Rightarrow3x^2+4x^2+3x^2=25\Rightarrow10x^2=25\Rightarrow x^2=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}\)
\(\Rightarrow y=-\sqrt{\frac{5}{2}}\)
Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là : x ( cm/s ) ; y ( cm/s )
Điều kiện : x , y > 0
Chu vi vòng tròn là : \(20.\pi\left(cm\right)\)
Khi chuyển động cùng chiều , cứ 20 giây chúng lại gặp nhau . Nghĩa là quãng đường 2 vật đi được trong 20s chênh lệch nhau đúng bằng 1 vòng tròn
=> Ta có PT : \(20x-20y=20\pi\)
Khi chuyển động ngược chiều , cứ 4 giây là chúng lại gặp nhau . Nghĩa là tổng quãng đường đi được trong 4 giây đúng là 1 vòng tròn .
=> Ta có PT : \(4x+4y=20\pi\)
Ta có HPT : \(\hept{\begin{cases}20x-20y=20\pi\\4x+4y=20\pi\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\pi\\x+y=5\pi\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\pi\\y=2\pi\end{cases}}\)
Vậy vận tốc của hai vật là : \(3\pi/s\); \(2\pi/s\)
n.gjmlgb,g.gtlf[y[rtlkyf;hk/, lơpu]tup[ươt[jnlgngkjko8769=89065