Người ta muốn làm một cái bể dạng hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ) có thể tích bằng $1$ m$^3$. Chiều cao của bể là $5$dm, các kích thước khác là $x$ m, $y$ m với $x>0$ và $y>0$. Diện tích toàn phần của bể (không kể nắp) là hàm số $S(x)$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $S(x)$ là đường thẳng $y=ax+b$. Tính $P=a^2+b^2$.

Trả lời:

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $x(t)=t^3-6 t^2+9 t$ với $t \geq 0$. Khi đó $x'(t)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v(t);\, v'(t)$ là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t$. Vận tốc của chất điểm giảm dần tới thời điểm $t_a$ lại bắt đầu tăng dần. Tính $t_a$.

Trả lời:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật và quãng đường di chuyển được sau $t$ giây được tính theo công thức $S\left(t \right)=-3t^3+243t^2$ (m). Vận tốc $v$ (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $t$ bằng bao nhiêu giây?

Trả lời:

Một hãng dược phẩm dùng những chiếc lọ bằng nhựa có dạng hình trụ để đựng thuốc. Biết rằng mỗi lọ có thể tích là $16\pi$ cm$^{3}$ và bề dày không đáng kể. Tính bán kính đáy $R$, đơn vị cm của lọ để tốn ít nguyên liệu sản xuất lọ nhất (kể cả nắp lọ).

Trả lời:  

Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và có bảng biến thiên như hình sau:

Phương trình $f\left(x^2\right)=1$ có bao nhiêu nghiệm?

Trả lời:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $f(-3)=f(3)=\dfrac12$. Biết rằng hàm số $y=f'(x)$ là một hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số $g(x)=\big[f(3-x)\big]^2-f(3-x)$ đồng biến trên khoảng $(a ; +\infty)$. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của $a$.

Trả lời: