\(\left(\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}\right)^3=8+3\sqrt{21}+8-3\sqrt{21}+3\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}\)

                                                  \(=16+\sqrt[3]{\left(8+3\sqrt{21}\right)\left(8-3\sqrt{21}\right)}\)

                                                  \(=16+3\sqrt[3]{\left(64-189\right)}\)

                                                  \(=16-3\sqrt[3]{125}\)

                                                  \(=16-15\)

                                                  \(=1\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}\) + \(\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}\)   = 1