cho đường tròn (o) và dây cung BC cố định không phải đuờng kính, M là trug điểm của BC. Điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn, không cân. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và E,F lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh B,C. Đường tròn đường kính AH cắt AM tại K khác Aa) c/m ME,MF là hai tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH và MK.MA= ME2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
LƯU Ý
Các bạn học sinh KHÔNG ĐƯỢC đăng các câu hỏi không liên quan đến Toán, hoặc các bài toán linh tinh gây nhiễu diễn đàn. Online Math có thể áp dụng các biện pháp như trừ điểm, thậm chí khóa vĩnh viễn tài khoản của bạn nếu vi phạm nội quy nhiều lần.
Chuyên mục Giúp tôi giải toán dành cho những bạn gặp bài toán khó hoặc có bài toán hay muốn chia sẻ. Bởi vậy các bạn học sinh chú ý không nên gửi bài linh tinh, không được có các hành vi nhằm gian lận điểm hỏi đáp như tạo câu hỏi và tự trả lời rồi chọn đúng.
Mỗi thành viên được gửi tối đa 5 câu hỏi trong 1 ngày
Các câu hỏi không liên quan đến toán lớp 1 - 9 các bạn có thể gửi lên trang web h.vn để được giải đáp tốt hơn.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) nối OM;ON .vì K là trung điểm của MN=>KN=KM=KC=1/2MN( TAM GIÁC VUÔNG ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN = NỬA CẠNH HUYỀN)
VÌ OM=ON( CÙNG =R) ==> tam giác OMN cân tại O . XÉT tam giác OMN cân tại O CÓ OK là đường trung tuyến nên nó đồng thời là đường cao ) ==> OK vuông góc với MN ==> TAM giác OKN vuông tại K
XÉT TAM GIÁC OKN vuông tại K .THEO PY-TA GO TA CÓ \(OK^2+KN^2=ON^2\)
MÀ KN=KC (chứng minh trên) ==>\(OK^2+KC^2=ON^2\)
MÀ ON ko đổi ( vì bằng bán kính đường tròn tâm O) ==> \(OK^2+KC^2\) ko đổi
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến: KI=\(\sqrt{\frac{2\left(KC^2+KO^2\right)-CO^2}{4}}\)
THEO CÂU a: KC^2+KO^2=ON^2
=>KI=\(\sqrt{\frac{2\cdot ON^2-CO^2}{4}}=\sqrt{\frac{ON^2+\left(ON^2-CO^2\right)}{4}}=\sqrt{\frac{ON^2+CN^2}{4}}\)=\(\frac{\sqrt{R^2+OA^2-CO^2}}{2}=\sqrt{\frac{R^2+AC^2}{4}}\)
Vì C cố định nên khoảng cách KI là cố định
vậy khi M di động trên (O;R) thì K di động trên 1 đường tròn cố định tâm I là trung điểm của CO
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
GỌI GIAO ĐIỂM CỦA AH VỚI MB LÀ G
XÉT 2 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG AKH VÀ MKB ==>\(\frac{KH}{KB}=\frac{AK}{KM}\)<=>KH.KM=AK.BK
ĐỂ KH.BK LỚN NHẤT KHI AK.BK LỚN NHẤT
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
câu 1 sử dụng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là xong nhé
kẻ IK vuông góc với DG và DG cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DFM tại P ==> P là điểm chính giữa cung DF
vì IG vuông góc với DC==> IG // BC
do đó giờ cần chứng minh góc DIG=DBC ( 2 góc đồng vị là ra D;I;B thẳng hàng)
ta có góc DIG=cung DP
góc DMF=1/2cung DF
MÀ cung DP=1/2cung DF( VÌ P là ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG DF)
==> DIG=DMF
mà góc DMF=DMC( 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
==> góc DIP=DBC
mà DBC+GIB=180 độ==> DIG+GIB=180 độ
==> D;I;B thẳng hàng
a/
E và F bình đẳng nhau nên tôi chỉ c/m ME là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AH. Còn c/m MF là tiếp tuyến làm tương tự bạn tự c/m nhé
Gọi I là tâm đường tròng đường kính AH => IA=IH
Gọi D là giao của AH với BC
Xét tg ABC có \(AH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)
\(\Rightarrow AD\perp BC\)
Xét tg vuông ADC và tg vuông BEC có
\(\widehat{DAC}=\widehat{EBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{C}\) ) (1)
Xét tg vuông AHE có
\(IA=IH\Rightarrow IE=IA=IH=\dfrac{AH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
\(\Rightarrow E\in\left(I\right)\) và tg AIE cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{AEI}\) (góc ở đáy tg cân) (2)
Xét tg vuông BEC có
\(MB=MC\left(gt\right)\Rightarrow ME=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
=> tg BME cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{BEM}\) (góc ở đáy tg cân) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{BEM}\)
Mà \(\widehat{AEI}+\widehat{BEI}=\widehat{AEB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BEM}+\widehat{BEI}=\widehat{MEI}=90^o\Rightarrow ME\perp IE\) => ME là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AH
b/
Xét tg MEK và tg MAE có
\(\widehat{AME}\) chung
Ta có
\(sđ\widehat{MEK}=\dfrac{1}{2}sđcungEK\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{MAE}=\dfrac{1}{2}sđcungEK\) (góc nội tiếp (O))
\(\Rightarrow\widehat{MEK}=\widehat{MAE}\)
=> tg MEK đồng dạng với tg MAE (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{ME}{MA}=\dfrac{MK}{ME}\Rightarrow MK.MA=ME^2\)