Cho ∆ABC có 2 đường cao BD, CE cắt nhau ở H. 1) Chứng minh AH vuông góc BC. 2) Chứng minh: A, E, H, D thuộc một đường tròn, xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm này 3) Chứng minh : B, E, D, C thuộc một đường tròn, xác định tâm của đường tròn đi qua 4 điểm này
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 11 2023
a: Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó;ΔBEC vuông tại E
=>CE\(\perp\)BE tại E
=>CE\(\perp\)AB tại E
Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó;ΔBDC vuông tại D
=>BD\(\perp\)DC tại D
=>BD\(\perp\)AC tại D
Xét ΔABC có
BD,CE là đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC
b: Xét tứ giác AEHD có \(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)
=>AEHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>A,E,H,D cùng nằm trên đường tròn đường kính AH
c: I là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A,E,H,D
=>I là trung điểm của AH
Gọi giao điểm của AH với BC là M
AH\(\perp\)BC
nên AH\(\perp\)BC tại M
\(\widehat{BHM}=\widehat{IHD}\)
mà \(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)(ID=IH)
nên \(\widehat{BHM}=\widehat{IDH}\)
mà \(\widehat{BHM}=\widehat{BCD}\left(=90^0-\widehat{HBM}\right)\)
nên \(\widehat{IDH}=\widehat{BCD}\)
OB=OD
=>ΔODB cân tại O
=>\(\widehat{OBD}=\widehat{ODB}\)
=>\(\widehat{ODH}=\widehat{DBC}\)
\(\widehat{IDO}=\widehat{IDH}+\widehat{ODH}\)
\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}\)
\(=90^0\)
=>ID\(\perp\)DO
29 tháng 10 2023
a: Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
b: Gọi O là trung điểm của AH
ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>ADHE nội tiếp (O)
Xét ΔABC có
BD,CE là các đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH vuông góc BC tại M
ΔABC cân tại A
mà AM là đường cao
nên M là trung điểm của BC
Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDCB vuông tại D có
BC chung
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)
Do đó: ΔEBC=ΔDCB
Xét tứ giác BEHM có
\(\widehat{BEH}+\widehat{BMH}=180^0\)
=>BEHM là tứ giác nội tiếp
\(\widehat{OEM}=\widehat{OEH}+\widehat{MEH}\)
\(=\widehat{OHE}+\widehat{MBD}\)
\(=\widehat{MHC}+\widehat{MBD}=90^0-\widehat{MCH}+\widehat{MBD}=90^0\)
=>EM là tiếp tuyến của (O)
19 tháng 12 2023
P/S: Tính chất đường cao và đồng quy trong tam giác đã học từ năm lớp 7 rồi nha bạn
a: Ta có: ΔBEC vuông tại E
=>ΔBEC nội tiếp đường tròn đường kính BC(1)
Ta có: ΔBDC vuông tại D
=>ΔBDC nội tiếp đường tròn đường kính BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra B,E,D,C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC
Tâm O là trung điểm của BC
b: Xét ΔABC có
BD,CE là các đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại M
Ta có: AH\(\perp\)BC
EK\(\perp\)BC
Do đó: AH//EK
c: Ta có: ΔAHD vuông tại D
mà DI là đường trung tuyến
nên ID=IH
=>ΔIDH cân tại I
=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)
mà \(\widehat{IHD}=\widehat{BHM}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{BHM}=\widehat{BCD}\left(=90^0-\widehat{DBC}\right)\)
nên \(\widehat{IDH}=\widehat{BCD}\)
Ta có: OD=OB
=>ΔODB cân tại O
=>\(\widehat{ODB}=\widehat{OBD}=\widehat{CBD}\)
Ta có: \(\widehat{IDO}=\widehat{IDH}+\widehat{ODB}\)
\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}\)
=90 độ
=>ID là tiếp tuyến của (O)
17 tháng 3 2023
a: góc ADH+góc AEH=180 độ
=>ADHE nội tiếp
O là trung điểm của AH
b:
XetΔACB có
BD,CE là đường cao
BD căt CE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
=>K là trung điểm của CB
góc ODK=góc ODH+góc KDH
=góc BHK+góc KBH=90 độ
=>KD là tiếp tuyến của (O)
23 tháng 7 2023
a:
góc BDC=góc BEC=1/2*sđ cung BC=90 độ
=>CD vuông góc AB và BE vuông góc AC
Xét ΔABC có
CD,BE là đường cao
CD cắt BE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
b: góc AEH+góc ADH=180 độ
=>AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>I là trung điểm của AH
c: góc BDC=góc BEC=90 độ
=>BDEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>O là trung điểm của BC
d: ID=IE
OD=OE
=>OI là trung trực của DE
=>OI vuông góc DE
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
11 tháng 12 2017
a) Ta thấy ngay do BD, CE là đường cao nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\)
Xét tứ giác AEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) nên AEDC là tứ giác nội tiếp hay A, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.
Đường tròn cần tìm là đường tròn đường kính BC, tức là tâm đường tròn là trung điểm J của BC, bán kính là JB.
b) Xét tam giác BEC và tam giác BHM có :
\(\widehat{BEC}=\widehat{BHM}=90^o\)
Góc B chung
\(\Rightarrow\Delta BEC\sim\Delta BHM\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{BE}{BH}=\frac{BC}{BM}\Rightarrow BC.BH=BE.BM\)
Ta có \(BK^2=BD^2=BH.BC=BE.EM\) mà \(KE\perp BM\Rightarrow\widehat{BKM}=90^o\)
Vậy MK là tiếp tuyến của đường tròn tâm B.
c)
Gọi F là giao điểm của CE với đường tròn tâm B.
Do \(BE\perp KF\)nên MB là trung trực của FK.
\(\Rightarrow\widehat{MFB}=\widehat{MKB}=90^o\Rightarrow\)tứ giác MFBH nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{MBF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF)
Ta cũng có MKHB nội tiếp nên \(\widehat{MHK}=\widehat{MBK}\)
Mà \(\widehat{MBF}=\widehat{MBK}\) nên HI là phân giác góc KHF.
Áp dụng tính chất tia phân giác ta có : \(\frac{IK}{IF}=\frac{HK}{HF}\)
Ta có \(HC\perp HI\) nên HC là tia phân giác ngoài của góc KHF.
\(\Rightarrow\frac{CK}{CF}=\frac{HK}{HF}\)
Vậy nên \(\frac{CK}{CF}=\frac{IK}{IF}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{CF+KF}=\frac{IK}{IF+IK}\Rightarrow\frac{CK}{\left(CE+EF\right)+\left(CE-KE\right)}=\frac{IK}{FK}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{2CE}=\frac{IK}{2EK}\Rightarrow CK.EK=CE.IK\)
19 tháng 8 2021
a: Xét tứ giác BEDC có
\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
Do đó: BEDC là tứ giác nội tiếp
Tâm là trung điểm của BC
Bán kính là \(\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}\)
3 tháng 12 2021
a: Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
Xét ΔABC có
BD là đường cao
CE là đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: AH⊥BC
1: Xét ΔABC có
BD,CE là đường cao
BD cắt CE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
2: góc AEH+góc ADH=180 độ
=>AEHD nội tiếp
3: góc BEC=góc BDC=90 độ
=>BEDC nội tiếp