cho tam giác abc và đường phân giác ad. qua d kẻ đường thẳng song song với ac và cắt ab tại e. chứng minh 1/ab + 1/ac = 1/ae
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi Bx là tia đối của tia BA. Lấy E trên AC sao cho AB = AE
Xét tam giác BAD=EAD c-g-c => BD = DE và DEC = CBx
Trong tam giác ABC, BAC + ABC + ACB = 180 => ACB = 180 - BAC - ABC => ACB < 180 - ABC
Ta có DBx + ABC = 180 (hai góc kề bù) => DBx = 180 - ABC
=>ACB < DBx => ACB < DEC => Trong tam giác DEC, DC > DE (Quan hệ giữa góc và cạnh)
Vậy BD < DC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi
Þ EF là phân giác của A E D ^
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hình tự vẽ nha bạn
Vì AD là đường phân giác của góc A
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{DAE}\)
Vì AB//ED =>\(\widehat{BAD}=\widehat{EDA}\)(2 góc so le trong)
Mà góc BAD=góc DAE=> \(\widehat{DAE}=\widehat{EDA}\)
=> tam giác EAD cân tại E
=>EA=ED
Ta có: AB//ED cắt FE//BC => BF=ED(theo tính chất đoạn chắn)
Mà EA=ED=> AE=BF(=ED)
Xét \(\Delta\text{A}BC\)có :
\(ED//\text{A}C\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\frac{BE}{\text{A}B}=\frac{DE}{\text{A}C}\)
\(\Rightarrow\frac{BE}{ED}=\frac{\text{A}B}{\text{A}C}(1)\)
Có : AD là phân giác góc \(B\text{A}C\)
=> góc \(B\text{A}D\)= góc \(C\text{A}D\)
Có : \(ED//\text{A}C\left(gt\right)\)
=> góc \(\text{A}DE\)= góc \(C\text{A}D\)
mà góc \(B\text{A}D\)= góc \(C\text{A}D\) ( cmt)
=> góc \(\text{A}DE\)= góc \(B\text{A}D\)
=> \(\Delta ED\text{A}\) cân tại E
=> \(ED=E\text{A}\)
Cộng mỗi vế của (1) với 1, ta có :
\(1+\frac{\text{A}B}{\text{A}C}=\frac{BE}{ED}+1\)
=>\(\frac{\text{A}B}{\text{A}B}+\frac{\text{A}B}{\text{A}C}=\frac{BE}{ED}+\frac{ED}{ED}\)
mà \(ED=E\text{A}\left(cmt\right)\)
=>\(\frac{\text{A}B}{\text{A}B}+\frac{\text{A}B}{\text{A}C}=\frac{BE}{ED}+\frac{E\text{A}}{ED}\)
=>\(\frac{\text{A}B}{\text{A}B}+\frac{\text{A}B}{\text{A}C}=\frac{\text{A}B}{ED}\)
=>\(\frac{1}{\text{A}B}+\frac{1}{\text{A}C}=\frac{1}{ED}\)
mà \(ED=E\text{A}\left(cmt\right)\)
=> \(\frac{1}{\text{A}B}+\frac{1}{\text{A}C}=\frac{1}{E\text{A}}\left(đpcm\right)\)