Tìm m để phương trình \(\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=m\) có 4 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3,x_4\) và \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\dfrac{1}{x_4}=4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 2 2022
Đặt \(x^2=t\) \(\Rightarrow t^2+\left(1-m\right)t+2m-2=0\) (1)
Pt đã cho có 4 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm dương pb
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(1-m\right)^2-8\left(m-1\right)>0\\t_1+t_2=m-1>0\\t_1t_2=2m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>9\)
Khi đó, do vai trò của \(x_1;x_2;x_3;x_4\) như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x_1=-\sqrt{t_1};x_2=\sqrt{t_1}\) ; \(x_3=-\sqrt{t_2};x_4=\sqrt{t_2}\)
\(\Rightarrow x_1x_2x_3x_4=t_1t_2\) ; \(x_1^2=x_2^2=t_1\) ; \(x_3^2=x_4^2=t_2\)
\(\Rightarrow\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_4^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_3^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_2^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_1^2}=2017\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{t_1t_2}{2t_2}+\dfrac{t_1t_2}{2t_2}+\dfrac{t_1t_2}{2t_1}+\dfrac{t_1t_2}{2t_1}=2017\)
\(\Leftrightarrow t_1+t_2=2017\)
\(\Leftrightarrow m-1=2017\Rightarrow m=2018\)
VH
25 tháng 3 2020
Phương trình tương đương:
\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(a+3\right)\left(a-5\right)-m=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a-15-m=0\) (1) với \(a=x^2+4x\)
Để phương trình ẩn x có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần của phương trình ẩn a là phải có 2 nghiệm phân biệt.
\(\Delta'_{\left(1\right)}=1+15+m=16+m>0\) \(\Rightarrow m>-16\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{16+m}\\a=2-\sqrt{16+m}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x-2-\sqrt{16+m}=0\left(2\right)\\x^2+4x-2+\sqrt{16+m}=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, (3) có 2 nghiệm phân biệt khi \(m< 0\). (Xét denta)
Nghiệm của chúng lần lượt là:
\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2+\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\end{matrix}\right.\). 4 nghiệm này luôn phân biệt với \(-16< m< 0\)
Lần lượt thay nghiệm vào điều kiện:
\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)
Ta được phương trình vô nghiệm. Vậy không tìm nổi m :V
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 2 2020
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+5\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-5\right)\left(x^2+4x+3\right)=m\)
Đặt \(x^2+4x-5=t\ge-9\)
\(\Rightarrow t\left(t+8\right)-m=0\Leftrightarrow t^2+8t-m=0\) (1)
Để (1) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(t>-9\Rightarrow-16< m< 9\)
Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của \(x^2+4x-5-t_1=0\) ; \(x_3;x_4\) là 2 nghiệm của \(x^2+4x-5-t_2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4\\x_1x_2=-t_1-5\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-4\\x_3x_4=-t_2-5\end{matrix}\right.\)
Ta cũng có \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=-8\\t_1t_2=-m\end{matrix}\right.\)
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=-1\Leftrightarrow\frac{-4}{-t_1-5}+\frac{-4}{-t_2-5}=-1\)
\(\Leftrightarrow4\left(t_1+t_2\right)+40=-t_1t_2-5\left(t_1+t_2\right)-25\)
\(\Leftrightarrow t_1t_2+9\left(t_1+t_2\right)+65=0\)
\(\Leftrightarrow-m-72+65=0\Rightarrow m=-7\) (thỏa mãn)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 3 2021
Chắc là \(q\left(x\right)=x^2-4????\)
\(f\left(2\right)=2^5+2^2+1=37\) ; \(f\left(-2\right)=-27\)
Do \(f\left(x\right)\) có 5 nghiệm nên f(x) có dạng:
\(f\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\left(x-x_5\right)\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)\left(2-x_3\right)\left(2-x_4\right)\left(2-x_5\right)=37\)
\(f\left(-2\right)=\left(-2-x_1\right)\left(-2-x_2\right)\left(-2-x_3\right)\left(-2-x_4\right)\left(-2-x_5\right)=-27\)
\(\Rightarrow\left(2+x_1\right)\left(2+x_2\right)\left(2+x_3\right)\left(2+x_4\right)\left(2+x_5\right)=27\)
\(A=\left(x_1^2-4\right)\left(x^2_2-4\right)\left(x_3^2-4\right)\left(x_4^2-4\right)\left(x^2_5-4\right)\)
\(A=-\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)\left(2-x_3\right)\left(2-x_4\right)\left(2-x_5\right)\left(2+x_1\right)\left(2+x_2\right)\left(2+x_3\right)\left(2+x_4\right)\left(2+x_5\right)\)
\(A=-37.27=-999\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 5 2020
\(\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)-1=0\)
Đặt \(x^2+8x+7=t\) (1)
\(t\left(t+8\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+8t-1=0\)
Do \(ac< 0\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=8\\t_1t_2=-1\end{matrix}\right.\)
- Với nghiệm \(t_1\) thay vào (1) ta có:
\(x^2+8x+7-t_1=0\)
Theo Viet, pt này có 2 nghiệm thỏa: \(x_1x_2=7-t_1\)
Với nghiệm \(t_2\) ta có: \(x^2+8x+7-t_2=0\)
Pt này có 2 nghiệm thỏa Viet: \(x_3x_4=7-t_2\)
Do đó: \(x_1x_2x_3x_4=\left(7-t_1\right)\left(7-t_2\right)\)
\(=49-7\left(t_1+t_2\right)+t_1t_2=49-7.8-1=-8\)
Ta có : \(\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=m\)
=> \(\left(x^2-7x+3x-21\right)\left(x^2-6x+2x-12\right)=m\)
=> \(\left(x^2-4x-21\right)\left(x^2-4x-12\right)=m\)
- Đặt \(x^2-4x=a\) ta được phương trình :
\(\left(a-21\right)\left(a-12\right)=m\)
=> \(a^2-21a-12a+252-m=0\)
=> \(a^2-33a+252-m=0\)
=> \(\Delta=b^2-4ac=\left(-33\right)^2-4\left(252-m\right)=81+4m\)
Lại có : \(x^2-4x=a\)
=> \(x^2-4x-a=0\) ( I )
- Để phương trình ( I ) có 4 nghiệm phân biệt
<=> Phương trình ( II ) có hai nghiệm phân biệt
<=> \(\Delta>0\)
<=> \(m>-\frac{81}{4}\)
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}\\x_2=\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\)
=> Ta được phương trình ( I ) là :
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x+\frac{\sqrt{81+4m}-33}{2}=0\\x^2-4x-\frac{\sqrt{81+4m}+33}{2}=0\end{matrix}\right.\)
- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=4\\x_3x_4=\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
- Để \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4\)
<=> \(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=4\)
<=> \(\frac{4}{\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}}+\frac{4}{\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}}=4\)
<=> \(\frac{1}{\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}}+\frac{1}{\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}}=1\)
<=> \(\frac{2}{33-\sqrt{81+4m}}+\frac{2}{33+\sqrt{81+4m}}=1\)
<=> \(\frac{2\left(33-\sqrt{81+4m}\right)+2\left(33+\sqrt{81+4m}\right)}{\left(33-\sqrt{81+4m}\right)\left(33+\sqrt{81+4m}\right)}=1\)
<=> \(66-2\sqrt{81+4m}+66+2\sqrt{81+4m}=1089-81-4m\)
<=> \(66+66=1089-81-4m\)
<=> \(m=219\)