Cho a là số nguyên chứng minh rằng :
a^2-a chia hết cho 2
a^3-3 chia hết cho 3
a^4-5 chia hết cho 5
Ai nhanh nhất mk tích
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\sqrt{\sqrt{3}+2}\)
=> \(A=\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)
=> \(A=\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\)
=> \(A=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\left(\sqrt{3}-2\right)\)
=> \(A=\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\)
=> \(A=4\sqrt{3}-8+6-4\sqrt{3}\)
=> \(A=-8+6=-2\)
VẬY \(A=-2\)
\(B=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right).\sqrt{2}.\sqrt{4-\sqrt{15}}\)
=> \(B=\sqrt{8-2\sqrt{15}}\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\)
=> \(B=\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{15}\right)\)
=> \(B=\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2\left(4+\sqrt{15}\right)\)
=> \(B=\left(8-2\sqrt{15}\right)\left(4+\sqrt{15}\right)\)
=> \(B=32+8\sqrt{15}-8\sqrt{15}-30\)
=> \(B=2\)
VẬY \(B=2\)
Bài làm:
Ta có: \(\left(x-1\right)\left(y-3\right)=x-3\)
\(\Leftrightarrow xy-3x-y+3-x+3=0\)
\(\Leftrightarrow xy-4x-y+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-4x\right)-\left(y-4\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-4\right)-\left(y-4\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-4\right)=-2=1.\left(-2\right)=\left(-1\right).2\)
Nên ta xét các TH sau (có thể kẻ bảng):
+ \(\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-4=-2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}}\)
+ \(\hept{\begin{cases}x-1=-2\\y-4=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=5\end{cases}}\)
+ \(\hept{\begin{cases}x-1=-1\\y-4=2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=6\end{cases}}\)
+ \(\hept{\begin{cases}x-1=2\\y-4=-1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}\)
Vậy có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn: \(\left(2;2\right);\left(-1;5\right);\left(0;6\right);\left(3;3\right)\)
Vận tốc= quãng đường : thời gian
Quãng đường= vận tốc x thời gian
Thời gian= quãng đường : vận tốc
Bài làm:
a) Vì AM = AN và \(\widehat{MAN}=\widehat{BAC}=60^0\) (đối đỉnh)
=> Tam giác AMN đều
=> \(\widehat{MNA}=60^0=\widehat{ACB}\)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> MN // BC
=> Tứ giác MNCB là hình thang
Lại có \(\hept{\begin{cases}AM=AN\\AB=AC\end{cases}\Rightarrow}AM+AB=AN+AC\)
\(\Rightarrow MB=NC\)
Vì MB,NC là 2 đường chéo hình thang MNCB
=> MNCB là hình thang cân
b) Nối M với D, C với F
Vì D,F là trung điểm của AN,AB
=> MD,CF là 2 đường trung tuyến của tam giác AMN và ABC
Mà 2 tam giác này đều
=> \(\hept{\begin{cases}MD\perp NC\left(\perp NA\right)\\CF\perp BM\left(\perp AB\right)\end{cases}}\)
=> Tam giác CDM và tam giác CFM vuông tại D,F
Mà DE,FE là 2 đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của 2 tam giác vuông nói trên
=> \(DE=FE=\frac{1}{2}MC\left(1\right)\)
Vì D,F là trung điểm của AN,AB
=> DF là đường trung bình của tam giác ANB
=> \(DF=\frac{1}{2}NB\left(2\right)\)
Mà NB = MC ( MNCB là hình thang cân ) nên kết hợp với (1) và (2)
=> \(DF=FE=ED\)
=> Tam giác DEF đều
từ giả thiết dễ thấy p>q>=2
ta có q(q-1)(q+1) chia hết cho q, mà 0<q-1<q<p và p nguyên tố nên q và p-1 không thể chia hết cho p
từ đó, ta có q+1 chia hết cho p
lại có 0<q+1<2q<2p nên q+1=p
nếu q lẻ thì p=q+1 chẵn và p>2 nên p là hợp số, mâu thuẫn
do đó q=2 từ đó ta có p=3 thử lại thấy thỏa mãn
vậy có một cặp số nguyên tối (p;q) thỏa mãn yêu cầu(3;2)
Nếu tăng chiều dài lên 5m và giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi là 225m\(^2\)
Chiều dài khu vườn ban đầu là :
225 : 5 = 45 ( m )
Chiều rộng khu vườn ban đầu là :
45 : 3 = 15 ( m )
Diện tích ban đầu của khu vườn là :
45 x 15 = 675 ( m\(^2\))
Đáp số : 675 m\(^2\)
Trả Lời :
Nếu tăng chiều dài lên 5m và giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi là 225 m\(^2\)
Chiều dài khu vườn ban đầu là :
225 : 5 = 45 ( m )
Chiều rộng khu vường ban đầu là :
45 : 3 = 15 ( m )
Diện tích ban đầu của khu vườn là :
45 . 15 = 675 ( m\(^2\)
Đ/s 675 m\(^2\)
Bài làm:
a) \(a^2-a=a\left(a-1\right)\)
Vì a là số nguyên
=> a ; a-1 là 2 số nguyên liên tiếp
Vì trong 2 số nguyên liên tiếp tồn tại 1 số chẵn ( chia hết cho 2)
=> a(a-1) chia hết cho 2
=> \(a^2-a⋮2\)
Sai sai nên sửa đề:
b) \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
Vì đó là tích 3 số nguyên liên tiếp và trong 3 số đó luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3
=> (a-1)a(a+1) chia hết cho 3
=> \(a^3-a⋮3\)
c) \(a^5-a=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left[\left(a^2-4\right)+5\right]\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left[\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\right]\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp và trong 5 số đó luôn tồn tại 1 số chia hết cho 5
=> (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 5
Mà 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 5
=> \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
=> \(a^5-a⋮5\)
+) Ta có a2 - a = a( a - 1 )
Vì a , a - 1 là hai số nguyên liên tiếp => Ít nhất 1 trong 2 số chia hết cho 2
=> a( a - 1 ) chia hết cho 2 hay a2 - a chia hết cho 2 ( đpcm )
+) Ta có a3 - a = a( a2 - 1 ) = a( a - 1 )( a + 1 ) ( sửa 3 thành a may ra tính được )
Vì a ; a - 1 ; a + 1 là 3 số nguyên liên tiếp => Ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3
=> a( a - 1 )( a + 1 ) chia hết cho 3 hay a3 - a chia hết cho 3 ( đpcm )