Một khúc gỗ đặc có dạng hình trụ, bán kính hình tròn đáy là $10 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $20 \mathrm{~cm}$. Người ta tiện bỏ bên trong khúc gỗ một vật dạng hình nón có bán kính hình tròn đáy là $10 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng một nửa chiều cao của khúc gỗ (như hình vẽ bên). Tính thể tích phần khúc gỗ còn lại.

Cho ba điểm $A, B, C$ phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $B C$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $A M$ đến nửa đường tròn $(O)$ ( $M$ là tiếp điểm). Trên cung $M C$ lấy điểm $E$ ( $E$ không trùng với $M$ và $C$ ), đường thẳng $A E$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $F(F$ không trùng $E$ ). Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $E F$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $B C$. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác $A M I O$ nội tiếp;
b) Hai tam giác $O F H$ và $O A F$ đồng dạng với nhau;
c) Trọng tâm $G$ của tam giác $O E F$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm $E$ thay đổi trên $M C$.

Để phục vụ cho công tác phòng chống dịch COVID-19, một công ty $A$ lên kế hoạch trong một thời gian quy định làm 20000 tấm chắn bảo hộ để tặng các chốt chống dịch. Do ý thức khẩn trương trong công tác hỗ trợ chống dịch và nhờ cải tiến quy trình làm việc nên mỗi ngày công ty $A$ làm được nhiều hơn 300 tấm so với kế hoạch ban đầu. Vì thế công ty $A$ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn đúng một ngày so với thời gian quy định và làm được nhiều hơn 700 tấm so với kế hoạch ban đầu. Biết rằng số tấm làm ra trong mỗi ngày là bằng nhau và nguyên cái. Hỏi theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày công ty $A$ cần làm bao nhiêu tấm chắn bảo hộ?

Cho tam giác nhọn $A B C(A B<A C)$ nội tiếp đường tròn tâm $O ; E$ là điểm chính giữa cung nhỏ $B C$.
a) Chứng minh $\widehat{C A E}=\widehat{B C E}$.
b) Gọi $M$ là điểm trên cạnh $A C$ sao cho $E M=E C\ (M$ khác $C)$; $N$ là giao điểm của $B M$ với đường tròn tâm $O\ (N$ khác $B)$. Gọi $I$ là giao điểm của $B M$ với $A E ; K$ là giao điểm của $A C$ với $E N$. Chứng minh tứ giác $E K M I$ nội tiếp.