a) A = a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = (a + b)³ - 3ab(a + b)

= 2³ - 3.(-1).2 = 8 + 6 = 14

b) B = a⁴ + b⁴ = a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 2a²b² = (a² - b²)² + 2a²b² 

= (a - b)²(a + b)² + 2(ab)² = (a² - 2ab + b²)(a + b)² + 2(ab)²

= (a + b)⁴ + 2(ab)² - 4ab(a + b)² = 2⁴ + 2.(-1)² - 4.(-1).2² = 16 + 2 + 16 = 34

c) Ta có: a² + b² = (a² + 2ab + b²) - 2ab = (a + b)² - 2ab = 2² - 2.(-1) = 4 + 2 = 6

=> (a² + b²)(a³ + b³) =  6.14 = 84

=> a⁵ + a²b³ + a³b² + b⁵ = a⁵ + b⁵ + a²b²(a + b) = 84

=>C = 84 - (ab)²(a + b) = 84 - (-1)².2 = 82

d) D = a⁶ + b⁶ = a⁶ + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + a⁶ - 3a²b²(a² + b²) = (a² + b²)³ - 3(ab)²(a² + b²) = 6³ - 3(-1)². 6 = 198

a) Ta có : a + b = 2

=> (a + b)³ = 8

=> a³ + b³ + 3a²b + 3ab² = 8

=> a³ + b³ + 3ab(a + b) = 8

=> a³ + b³ - 6 = 8

=> a³ + b³ = 14

b) Ta có a + b = 2

=> (a + b)⁴  = 16

=> a⁴ + b⁴ + 4a³b + 4ab³ = 16

=> a⁴ + b⁴ + 4ab(a² + b²) = 16 (1)

Lại có a + b = 2

=> (a + b)² = 4

=> a² + b² + 2ab = 4

=> a² + b² = 6

Khi đó (1) <=> a⁴ + b⁴ - 24 = 16

=> a⁴ + b⁴ = 40

c) a + b = 2

=> (a + b)⁵ = 32

=> a⁵ + b⁵ + 5a⁴b + 5ab⁴ = 32

=> a⁵ + b⁵ + 5ab(a³ + b³) = 32

Vận dụng kết quả câu b

=> a⁵ + b⁵ - 70 = 32 

a⁵ + b⁵ = 102

d) a + b = 2

=> (a + b)⁶ = 64

=> a⁶ + b⁶ + 6a⁵b + 6ab⁵ = 64

=> a⁶ + b⁶ + 6ab(a⁴ + b⁴) = 64

Vận dụng kết quả câu c 

=> a⁶ + b⁶ - 240 = 64

=> a⁶ + b⁶ = 304

\(C=\left(a-1\right)^3-4a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+3.\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)

\(=a^3-1-3a.\left(a-1\right)-4a.\left(a^2-1\right)+3.\left(a^3-1\right)\)

\(=a^3-1-3a^2+3a-4a^3+4a+3a^3-3\)

\(=-3a^2+7a-4\)

Thay \(a=-3\) vào biểu thức ta có :

\(C=-3.\left(-3\right)^2+7.\left(-3\right)-4=-52\)

Ta cần tìm số dư khi chia \(A\left(x\right)=x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}-x^2-x+1\) cho \(B\left(x\right)=x^2-1\)

Số dư của \(A\left(x\right)\) cho \(B\left(x\right)\) có bậc là 1. Đặt đa thức dư có dạng \(ax+b\)

Ta có : \(A\left(x\right)=B\left(x\right).H\left(x\right)+ax+b\)

Hay : \(A\left(x\right)=\left(x^2-1\right).H\left(x\right)+ax+b\)

+) Xét \(x=1\) thì : \(A\left(1\right)=a+b\)

\(\Leftrightarrow1+1+1-1-1+1=a+b\)

\(\Leftrightarrow a+b=2\) (1) 

+) Xét \(x=-1\) thì \(A\left(-1\right)=b-a\)

\(\Leftrightarrow-1-1+1-1-\left(-1\right)+1=b-a\)

\(\Leftrightarrow b-a=0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a=1,b=1\)

Vậy đa thức dư có dạng \(x+1\)

Vậy số dư của phép chia \(x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}-x^2-x+1\) cho \(x^2-1\) là \(x+1\)

Bài làm:

a) Sửa đề:

\(A=4x-x^2=-\left(x^2-4x+4\right)+4\)

\(=-\left(x-2\right)^2+4\le4\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(-\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\)

Vậy \(A_{Max}=4\Leftrightarrow x=2\)

b) \(B=-x^2-4x+5=-\left(x^2+4x+4\right)+9\)

\(=-\left(x+2\right)^2+9\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(-\left(x+2\right)^2=0\Rightarrow x=-2\)

Vậy \(B_{Max}=9\Leftrightarrow x=-2\)

c) \(C=-x^2-2y^2-2xy+2y\)

\(C=-\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(y^2-2y+1\right)+1\)

\(C=-\left(x+y\right)^2-\left(y-1\right)^2+1\le1\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}-\left(x+y\right)^2=0\\-\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy \(C_{Max}=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}\)

a) Sửa : A = 4x - x²

A = -x² + 4x - 4 + 4

A = -( x² - 4x + 4 ) + 4

A = -( x - 2 )² + 4

-( x - 2 )² ≤ 0 ∀ x => -( x - 2 ) + 4 ≤ 4

Dấu " = " xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2

Vậy A_Max = 4 , đạt được khi x = 2

b) B =  -x² - 4x + 5 = -x² - 4x - 4 + 9 = -( x² + 4x + 4 ) + 9 = -( x + 2 )² + 9

-( x + 2 )² ≤ 0 ∀ x => -( x + 2 )² + 9 ≤ 9 

Dấu " = " xảy ra <=> x + 2 = 0 => x = -2

Vậy B_Max = 9, đạt được khi x = -2

c) C = -x² - 2y² - 2xy + 2y

= ( -x² - 2xy - y² ) + ( -y² + 2y -1 ) + 1

= -( x² + 2xy + y² ) - ( y² - 2y + 1 ) + 1

= -( x + y )² - ( y - 1 )² + 1

\(\hept{\begin{cases}-\left(x+y\right)^2\le0\\-\left(y-1\right)^2\le0\end{cases}\Rightarrow}-\left(x+y\right)^2-\left(y-1\right)^2+1\le1\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\y-1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\y=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy C_Max = 1 , đạt được khi x = -1 ; y = 1

a) ( 2x + 5 )² - ( 2x - 5 )²

= [ 2x + 5 + ( 2x - 5 ) ][ 2x + 5 - ( 2x - 5 ) ]

= [ 2x + 5 + 2x - 5 ][ 2x + 5 - 2x + 5 ]

= 4x.10 = 40x

b) ( 4x - 1 )² - ( x - 1 )( x + 1 )

= 16x² - 8x + 1 - ( x² - 1 )

= 16x² - 8x + 1 - x² + 1

= 15x² - 8x + 2 

d) ( x + 2 )( x - 2 ) - 2( x² + 4 ) - ( x² - 1 )( x² + 1 )

= x² - 4 - 2x² - 8 - ( x⁴ - 1 )

= x² - 4 - 2x² - 8 - x⁴ + 1

= -x⁴ - x² - 11

e) ( 2x + 3 )³ = 8x³ + 36² + 54x + 27

f) ( x² + 2y )³ = x⁶ + 6x⁴y + 12x²y² + 8y³

g) ( x² - y/2 )³ = ( x² - 1/2y )³ 

                       = x⁶ - 3/2x⁴y + 3/4x²y² - 1/8y³

Cái chỗ kq phần b) sao đang 16x xuống dưới lại 15x ạ?

\(\left|1-3x\right|=x-8\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}1-3x=x-8\\1-3x=-x+8\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}9-4x=0\\-7-2x=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\x=-\frac{7}{2}\end{cases}}}\)

ĐKXĐ : \(x-8\ge0\Rightarrow x\ge8\)

Khi đó |1 - 3x| = x - 8

<=> \(\orbr{\begin{cases}1-3x=x-8\\1-3x=-x+8\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}-4x=-9\\-2x=7\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\text{(loại)}\\x=-3,5\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)

=> \(x\in\varnothing\)

(a⁴ - 3a² + 9).(a² + 3) - (3 + a²)³

= a⁶ + 27 - 27 - 9a⁴ - 27a² - a⁶

= -9a⁴ - 27a²

\(\left(a^4-3a^2+9\right)\left(a^2+3\right)-\left(3+a^2\right)^3\)

\(=\left[\left(a^2\right)^3+3^3\right]-\left(27+9a^4+27a^2+a^6\right)\)

\(=a^6+27-27-9a^4-27a^2-a^6\)

\(=-9a^4-27a^2\)