Bài làm

ĐKXĐ : x ≠ 2

Ta có : \(\frac{x^3-2x^2+4}{x-2}=\frac{x^2\left(x-2\right)+4}{\left(x-2\right)}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-2}+\frac{4}{x-2}=x^2+\frac{4}{x-2}\)

Vì x nguyên => x² nguyên

=> Để phân thức có giá trị nguyên thì \(\frac{4}{x-2}\)có giá trị nguyên

=> \(4⋮\left(x-2\right)\)

=> \(\left(x-2\right)\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

Các giá trị trên đều tmđk x ≠ 2

Vậy x ∈ { -2 ; 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 6 }

để bth trên có gtr nguyên thì x^3-2x^2+4 chia hết x-2

ta có: x^3-2x^2+4 = x^2(x-2)+4

vì x^2(x-2) chia hết cho x-2 với mọi x

nên để x^3-2x^2+4 chia hết cho x-2

thì 4 chia hết cho x-2

=> x-2 thuộc vào ước của 4
=>x-2 thuộc {+-1;+-2;+-4;0}

=> x = {2;3;1;4;0;6;-2}

Bài 1 : 

a, \(\left(x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2-2x^2=x^2-2x+1+x^2+2x+1-2x^2=2\)

b, \(x^3+2x^2y+xy^2-9x=x\left(x^2+2xy+y^2-9\right)=x\left[\left(x+y\right)^2-9\right]=x\left(x+y-3\right)\left(x+y+3\right)\)

Bài 2 : 

a, \(\left(2x-y\right)\left(4x^2-2xy+y^2\right)=8x^3-4x^2y+2xy^2-4x^2y+2xy^2-y^3\)

\(=8x^3-8x^2y+4xy^2-y^3\)

b, \(6x^5y^2-9x^4y^3:3x^3y^2=\left(6x^5y^2:3x^3y^2\right)+\left(-9x^4y^3:3x^3y^2\right)=2x^2-3xy\)

a, \(\frac{14x^5y^3z^2}{21x^2y^4z}=\frac{2x^3z}{3y}\)

b, \(\frac{25x^2y\left(x+1\right)^3}{30xy\left(x+1\right)}=\frac{5x\left(x+1\right)^2}{6}\)

c, \(\frac{30x\left(5-x\right)}{12\left(x-5\right)^3}=\frac{-30x\left(x-5\right)}{12\left(x-5\right)^3}=\frac{-5x}{2\left(x-5\right)^2}\)

d, \(\frac{60xy\left(3x-2\right)^3}{45xy^2\left(2-3x\right)}=\frac{60xy\left(3x-2\right)^3}{-45xy^2\left(3x-2\right)}=-\frac{4\left(3x-2\right)^2}{3y}\)

Bài làm

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^2}{1}+\frac{\left(b+\frac{1}{a}\right)^2}{1}\ge\frac{\left(a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{a}\right)^2}{1+1}=\frac{\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{1}=4\)

=> \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

=> \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1/2