Xài BĐT Bunhiacopski :

\(\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)

\(\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

Sử dụng Bunhiacopski đỡ phải chứng minh lại Cauchy Schwarz

Cậu hình như thiếu đề (chỗ Vp của BPT)

đề đâu bạn ? sao ko ghi đề mà đăng bài lên thế :))

Bài làm

\(\sqrt{-6x}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{-6x}\right)^2=\left(\sqrt{5}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow-6x=5\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{5}{6}\)

Vậy \(x=-\frac{5}{6}\)

Bài làm:

Ta có: \(\sqrt{-6x}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow-6x=5\)

\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}\)

\(\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{\left(x+2\right)^2}=x+2\)

Hải Ngọc  ơi  bạn tính sai rồi
\(\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{\left(x^2+2x+1\right)+3}\)

                                 \(=\sqrt{\left(x+1\right)^2+3}\)

Học tốt 

Trả lời:

\(\sqrt{x^2-25}=\sqrt{\left(x-5\right).\left(x+5\right)}\)

                        \(=\sqrt{x-5}.\sqrt{x+5}\)

Học tốt

ta có tích từ 3 stn liên tiếp trở lên thì chia hết cho 3

theo đề bài 9ⁿ+11 là tích k số tự nhiên liên tiếp mà 9ⁿ+11 không chia hết cho 3 nên k=2

đặt 9ⁿ+11=a(a+1) với a là số nguyên dương

9ⁿ+11=a(a+1) <=> 4.9ⁿ+45=4a²+4a+1

<=> (2a+1)²-(2.3ⁿ)²=45 <=> (2a+1-2.3ⁿ)(2a+1+2.3ⁿ)=45

vì a,n nguyên dương và 2a+1+2.3ⁿ >=9 nên xảy ra các trường hợp sau

th1: \(\hept{\begin{cases}2a+1+2\cdot3^n=9\left(1\right)\\2+1+2\cdot3^n=5\left(2\right)\end{cases}}\)

từ (1) và (2) ta có 4a+2=14 <=> a=3 => 9ⁿ+11=12 <=> 9ⁿ=1 <=> n=0 (loại)

th2: \(\hept{\begin{cases}2a+1-2\cdot3^n=15\left(3\right)\\2a+1+2\cdot3^n=3\left(4\right)\end{cases}}\)

từ (3) và (4) ta có 4a+2=18 <=> a=4 => 9ⁿ+11=20 <= 9ⁿ=9 <=> n=1 (tm)

th3: \(\hept{\begin{cases}2a+1-2\cdot3^n=45\left(5\right)\\2a+1+2\cdot3^n=1\left(6\right)\end{cases}}\)

từ (5) và (6) ta có 4a+2=46 <=> a=11 => 9ⁿ+11=132 <=> 9ⁿ=121 => không tồn tại n

vậy n=1

Vì \(9^n+11⋮̸3\)nên k<3 => k=2 (k>1) (với n thuộc N*)

Ta có: \(9^n-1⋮\left(9-1\right)\Leftrightarrow9^n-1⋮8\Leftrightarrow9^n-1⋮4\Leftrightarrow9^n+11⋮4\)

Mà \(9^n+11\)là tích của hai STN liên tiếp nên 1 trong 2 số bằng 4, số còn lại là 5 (vì 9^n+11 không chia hết cho 3)

Từ đó, ta có 9^n+11=4*5=20 => 9^n=9 => n=1 

Bài làm:

a) \(\sqrt{\left(6+2\sqrt{5}\right)^3}-\sqrt{\left(6+2\sqrt{5}\right)^3}=0\)

b) \(\frac{a^3-2\sqrt{2}}{a-\sqrt{2}}=\frac{\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a^2+a\sqrt{2}+2\right)}{a-\sqrt{2}}=a^2+a\sqrt{2}+2\)

câu a chắc đề bị lỗi 

\(\sqrt{\left(6+2\sqrt{5}\right)^3}-\sqrt{\left(6-2\sqrt{5}\right)^3}\)

\(=\sqrt{\left(6+2\sqrt{5}\right)^2\left(6+2\sqrt{5}\right)}-\sqrt{\left(6-2\sqrt{5}\right)^2\left(6-2\sqrt{5}\right)}\)

\(=\left(6+2\sqrt{5}\right)\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\left(6-2\sqrt{5}\right)\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(=\left(6+2\sqrt{5}\right)\sqrt{\sqrt{5}^2+2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)\sqrt{\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2}\)

\(=\left(\sqrt{5}^2+2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2\right)\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^2}-\left(\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2\right)\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)^2}\)

\(=\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^2.|\sqrt{5}+\sqrt{1}|-\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)^2.|\sqrt{5}-\sqrt{1}|\)

\(=\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^2.\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)-\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)^2.\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)\)

\(=\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^3-\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)^3\)

\(\sqrt{\left(6+2\sqrt{5}\right)^3}-\sqrt{\left(6-2\sqrt{5}\right)^3}\)

\(=\sqrt{\left(6+2\sqrt{5}\right)^2.\left(6+2\sqrt{5}\right)}+\sqrt{\left(6-2\sqrt{5}\right)^2.\left(6-2\sqrt{5}\right)}\)

\(=\left(6+2\sqrt{5}\right).\sqrt{\sqrt{5}^2+2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2}+\left(6-2\sqrt{5}\right).\sqrt{\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2}\)

\(=\left(\sqrt{5}^2+2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2\right).\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^2}+\left(\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2\right).\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)^2}\)

\(=\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^2.\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)^2.\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)\)

\(=\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^3+\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)^3\)

bạn có thể phân tích tiếp bằng hđt

\(\hept{\begin{cases}43x+2y=4310\\x-y+\sqrt{x}=105\end{cases}}\left(đk:x\ge0\right)\)

\(< =>\hept{\begin{cases}43x+2y=4310\\2x-2y+2\sqrt{x}=210\end{cases}}\)

Cộng 2 pt lại ta được : \(43x+2y+2x-2y+2\sqrt{x}=4310+210\)

\(< =>45x+2\sqrt{x}=4520\)

Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t\ge0\right)\)khi đó 

\(45t^2+2t=4520< =>45t^2+2t-4520=0\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}x=10\\x=-\frac{452}{45}\end{cases}}\)

Với \(x=10\)thì \(43x+2y=4310\)

\(< =>430+2y=4310< =>2x=4310-430\)

\(< =>2y=3880< =>y=1940\)

Tương tự với \(x=-\frac{452}{45}\)thì ta có \(y=\frac{42043}{15}\)

Vậy hệ phương trình trên có tập nghiệm là \(\left\{10;1940\right\}\left\{\frac{-452}{45};\frac{42043}{15}\right\}\)

mình nhầm rồi sửa từ dòng 7 @@ lú quá 

\(< =>\hept{\begin{cases}t=10\\t=-\frac{452}{45}\left(loại\right)\end{cases}}\)

Với \(t=10< =>x=100\)

\(< =>43.100+2y=4310\)

\(< =>2y=10< =>y=5\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=100\\y=5\end{cases}}\)