Bài 10 (trang 104 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho tam giác $ABC$, các đường cao $BD$ và $CE$. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm $B, E, D, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) $DE<BC$.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi số chai nước rửa tay mà mỗi giờ xưởng phải làm theo kế hoạch là x (chai, x>0)
Theo bài ra:
Theo dự định xưởng phải sản xuất 280 chai trong 1 thời gian quy định =>Thời gian xưởng hoàn thành xong:\(\frac{280}{x}\)(h)
Theo thực tế mỗi giờ xưởng sản xuất thêm 5 chai so với kế hoạch =>Số chai nước rửa tay mà mỗi giờ xưởng phải làm là x+5(chai)
Xưởng còn sản xuất được thêm 20 chai nước rửa tay nữa=>Thời gian xưởng hoàn thành xong:\(\frac{280+20}{x+5}\)=\(\frac{300}{x+5}\)(h)
Xưởng hoàn thành công việc trước 2(h) so với thực tế
=>\(\frac{280}{x}-\frac{300}{x+5}=2\)
=>\(\frac{280\left(x+5\right)}{x\left(x+5\right)}-\frac{300x}{x\left(x+5\right)}=\frac{2x\left(x+5\right)}{x\left(x+5\right)}\)
=>\(280\left(x+5\right)-300x=2x\left(x+5\right)\)
=>\(280x+1400-300x=2x^2+10x\)
=>\(2x^2+10x-280x-1400+300x=0\)
=>\(2x^2+30x-1400=0\)
=>\(\orbr{\begin{cases}x=20\\x=-35\end{cases}}\)(\(x=-35\)không thỏa mãn đk x>0 ;\(x=20\)thỏa mãn điều kiện x>0)
Vậy theo kế hoạch mỗi giờ xưởng đó làm 20 chai nước rửa tay
Ta có: \(xyz=1\)=>\(xy=\frac{1}{z}\)
Theo BĐT cosy, ta có: \(x+y+1\ge3\sqrt[3]{xy}=3\sqrt[3]{\frac{1}{z}}=\frac{3}{3\sqrt[3]{z}}\)
tương tự:\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x}}=\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\)
\(z+x+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{y}}=\frac{3}{\sqrt[3]{y}}\)
=> \(Q\le\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{z}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{x}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{y}}}=\frac{\sqrt[3]{z}}{3}+\frac{\sqrt[3]{x}}{3}+\frac{\sqrt[3]{y}}{3}=\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{3}\)
Áp dụng BĐT trên lần nữa ta được \(Q\le\frac{3\sqrt[3]{\sqrt[3]{xyz}}}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Vậy DTLN của Q=1
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Lời giải chi tiết
a) Gọi OO là trung điểm của BC⇒OB=OC=BC2.BC⇒OB=OC=BC2. (1)
Vì DODO là đường trung tuyến của tam giác vuông DBCDBC.
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:
OD=12BCOD=12BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD=OB=OC=12BCOD=OB=OC=12BC
Do đó ba điểm B, D, CB, D, C cùng thuộc đường tròn tâm OO bán kính OBOB.
Lập luận tương tự, tam giác BEC vuông tại E có EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên OE=OB=OC=12BCOE=OB=OC=12BC
Suy ra ba điểm B, E, CB, E, C cùng thuộc đường tròn tâm OO bán kính OBOB.
Do đó 4 điểm B, C, D, EB, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)(O) đường kính BCBC.
b) Xét đường (O;BC2)(O;BC2), với BCBC là đường kính.
Ta có DEDE là một dây cung không đi qua tâm nên ta có BC>DEBC>DE ( vì trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).
a) Gọi \mathrm{M}M là trung điểm của \mathrm{BC}BC.
Ta có EM=\dfrac{1}{2} BC, DM=\dfrac{1}{2} BCEM=21BC,DM=21BC.
Suy ra ME=MB=MC=MDME=MB=MC=MD
do đó B, E, D, CB,E,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BCBC.
b) Trong đường tròn nói trên, DEDE là dây, BCBC là đường kính nên DE<BCDE<BC