Câu hỏi của nguyenthidinh

Question

giải bất phương trình sau:

6x+1≤8x-27x-1

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:
Đặt $\left\{\begin{matrix}
2^x=a\
3^{x-1}=b\end{matrix}\right.$

$\text{BPT}\Leftrightarrow 3ab+1\leq a^3-b^3$

$\Leftrightarrow a^3-b^3-1-3ab\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b-1)(a^2+b^2+1+ab+a-b)\geq 0$ (*)

(sd hằng đẳng thức phân tích bậc 3 dạng $x^3+y^3+z^3-3xyz$ )

Vì $a^2+b^2+1+ab+a-b=\frac{(a+b)^2+(a+1)^2+(b-1)^2}{2}\geq 0$ nên từ (*) suy ra $a-b-1\geq 0$

$\Leftrightarrow 2^x-3^{x-1}-1\geq 0\Leftrightarrow 3.2^x-3^x-3\geq 0$

Xét $f(x)=3.2^x-3^x-3\Rightarrow f'(x)=\ln 8.2^x-\ln 3.3^x$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\log_{\frac{2}{3}}\frac{\ln 3}{\ln 8}$

Lập bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số f(x) cắt y=0 tại 2 điểm $x=1; x=2$; và đoạn đồ thị có giá trị không âm đi từ x=1 đến x=2

Do đó $f(x)\geq 0\Leftrightarrow 1\leq x\leq 2$Câu trả lời: Lời giải:
Đặt $\left\{\begin{matrix}
2^x=a\
3^{x-1}=b\end{matrix}\right.$